NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/07/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Les deux trigonométries >>> Approche de la trigonométrie hyperbolique >>> Allure des courbes hyperboliques >>> Relations – Identités >>> Chainette

Trigonométrie hyperbolique

On connait la trigonométrie classique basée sur l'utilisation d'un cercle unité.

La trigonométrie hyperbolique est similaire, mais basée sur l'hyperbole.

Les deux trigonométries
Nous connaissons la trigonométrie classique dite circulaire. Il existe un autre type de trigonométrie, bâtie sur le même modèle, mais à partir de l'hyperbole. Voyez et comparez ces deux illustrations. Analogie Cercle / Hyperbole Cercle de rayon 1 et Hyperbole avec a = b = 1: Pour un point M, avec un angle alpha dans les deux cas: L'aire du secteur vaut alpha/2. Du cercle, on engendre la trigonométrie circulaire (sinus, cosinus, tangente); et De l'hyperbole, on engendre la trigonométrie hyperbolique (sinus, cosinus, tangentes hyperboliques; abrégés en sh, ch, et th).

Notations

sinus hyperbolique	sinh	sh
cosinus hyperbolique	cosh	ch
tangente hyperbolique	tanh	th
cotangente hyperbolique	cotanh
sécante hyperbolique	sech
cosécante hyperbolique	cosech
arc sinus hyperbolique	asinh	sinh^-1
arc cosinus hyperbolique	acosh	cosh^-1

Approche de la trigonométrie hyperbolique
Prenons l'hyperbole centrée, avec a = b = 1: On se souvient que a et b déterminent la taille du carré vert et la direction des asymptotes.
Avec un calcul à partir de l'aire du secteur d'hyperbole embrassé par l'angle alpha, on établit les formules en exponentiel qui expriment les valeurs des lignes trigonométriques hyperboliques.

Allure des courbes hyperboliques
Sinus hyperbolique (rouge) Cosinus hyperbolique (bleu) de -Pi/2 à Pi/2	Idem de -3Pi/2 à 3Pi/2
Tangente hyperbolique (rouge) Cotangente hyperbolique (bleu) de -Pi/2 à Pi/2	Idem de -3Pi/2 à 3Pi/2

Relations – Identités
Inverse	sh (–x) = –sh(x) ch (–x) = ch(x)	th (–x) = –th(x) coth (–x) = –coth(x)
Différence	ch (x) + sh (x) = e^x ch (x) – sh (x) = e^-x	ch² (x) – sh² (x) = 1
Somme	sh (x + y) = sh (x) ch (y) + ch (x) sh (y) ch (x + y) = ch (x) ch (y) + sh (x) sh (y) sh (x – y) = sh (x) ch (y) – ch (x) sh (y) ch (x – y) = ch (x) ch (y) – sh (x) sh (y)

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Différence des carrés

Or: (a + b)² – (a – b )² = 4ab

Chainette ou vélaire ou caténaire (catenary)
Courbe plane transcendante que prend un câble ou une chaine (catena) suependue à ses extrémités et soumis à son propre poids.

Bases	Trigonométrie – Débutant Trigonométrie – Tables
Voir	Tangente hyperbolique – Courbe en S, sigmoïde Géométrie hyperbolique Pente – Calcul de - Tangente – Trigonométrie Tangente – une approche, familiarisation Tangente en géométrie Tangente pour exprimer une congruence
Aussi	Angles Angles selon leur tangente en dessin Calculs en trigonométrie (avancés) Calculs en trigonométrie (simples) Faire le tour du cercle (relations de base) Identités remarquables Pentagone Sinus et aire du triangle isocèle Triangle
Site	RICCATI Vincenzo (Vincent), italien, 1707-1775 – ChronoMath – Serge Mehl – Décrit simplement et précisément la trigonométrie hyperbolique Hyperbolic Functions – Math is Fun Hyperbolic Functions – Wolfram MathWorld Hyperbolic Trigonometric Functions – Brilliant Chainette – Wikipédia Hyperboloïde parabolique – Mathcurve – Robert Ferréol
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/TriHyper.htm