NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/11/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Cosinus Pi / 5 >>> Sinus Pi / 5 >>> Cas de Pi / 7 >>> Relations particulières >>> Bilan >>> Relations additives et multiplicative avec kPi/n – Table

Trigonométrie de Pi / n

Calcul de:

Nous allons donner la recette de calcul basée sur l'utilisation du triangle de Pascal. Le calcul est vite limité; par contre, cette méthode permet de relever quelques relations entre les fonctions trigonométriques de ces angles.

Voir Angles en Pi/n – Table des valeurs trigonométriques

Approche avec cos(Pi/5)
Triangle de Pascal jusqu'à la cinquième ligne (car n = 5). Nous nous intéressons à la diagonale montante: 1, 3, 1		Note: on se souvient que la somme des nombres de telles diagonales est un nombre de Fibonacci.
Équation avec ces coefficients et en alternant les signes.		x² – 3x + 1 = 0
Racines de cette équation du second degré.		D = b² – 4ac = 9 – 4x1x1= 5
On sait que ces racines correspondent à 4 cos² de pi/5 et 2 pi / 5.
Soit les lignes trigonométriques
Recherche de carré pour éliminer la racine emboitée (anglais: nested)
Résultats Phi est le nombre d'or

Suite pour sin (Pi/5)
Relation entre sinus et cosinus
En remplaçant
Résultat Multiplication par 2 sous le radical pour sortir le dénominateur

Ici, impossible de supprimer le radical, comme pour le cosinus.

Cas de Pi /7
Triangle de Pascal jusqu'à la septième ligne (car n = 7). Nous nous intéressons à la diagonale montante: 1, 5, 6, 1
Équation avec ces coefficients et en alternant les signes.	1x^3 – 5x^2 + 6x – 1 = 0
Racines de cette équation du troisième degré Très complexe au sens mathématique et au sens propre. Impossible d'en tirer des expressions avec radicaux
Seule possibilité, revenir a des expressions trigonométriques comportant des arcs tangentes.
Ces racines sont liées au cosinus carré. Formule générale	Bien compliqué pour en arriver à ces résultats!

Avec 2Pi / 7 (pour info)**

Source: Théorie de Galois – Université Lyon I

Relations particulières
Nous avons vu que le triangle de Pascal permet d'écrire une équation dont les racines (xk) sont liées au cosinus des angles.
Revenons à l'exemple avec n = 7. L'équation est donnée par la diagonale montante: x^3 – 5x^2 + 6x – 1 = 0 Trois racines.
La théorie des racines des équations montre que ===> On a fait passer le coefficient 4 à droite. Pour le produit, il est possible de prendre la racine carrée.	Le coefficient du deuxième monôme (–5) est égal à moins la somme des racines: Le coefficient du dernier monôme (–1) est égal au produit des racines au signe près: plus si le degré est pair et moins s'il est impair.
Autre exemple avec n = 10 x^4 – 8x^3 + 21x^2 – 20x + 5 = 0 Quatre racines.

Voir Remarques sur les angles en Pi/7

Bilan

Nous notons l'extraordinaire puissance du triangle de Pascal à décrire les cosinus des angles en Pi/n.

Malheureusement, les équations sont vite d'un degré tel que le calcul des racines est très complexe.

Consolation: relations entre la somme des angles et entre les produits.

Relations additives et multiplicative avec k . Pi/n

n	Valeur	Frac.	Formule	Formule développée
5	0,75
	0,25
6	1	1
	0,433012702…
7	1,25
	0,125
	0,330718914…
8	1,5
	0,25
9	1,5
	0,125
10	2	2
	0,139754248…
11	2,25
	0,03125
	0,103644524…
	3,316624790…
12	2,5
	1	1
	0,25

Voir Table des valeurs trigonométriques de ces angles

Il existe bien d'autres relations. Voir le site encyclopédique de Wolfram MathWorld

Bases	Trigonométrie – Débutant Trigonométrie – Tables Trigonométrie – Formulaire, identités, relations
Voir	Angles Angles en Pi/n – Table des valeurs trigonométriques Faire le tour du cercle (relations de base) Heptagone et Pi/7 Ennéagone et Pi/9 Sinus et aire du triangle isocèle Calculs en trigonométrie (simples) Calculs en trigonométrie (avancés)
Aussi	Triangle Pentagone Identités remarquables
Sites	Table de lignes trigonométriques exactes – Wikipédia Comment calculer les nombres réels cos(pi/n) grâce au triangle de Pascal – Gecif Trigonometry Angles Pi/7 – MathWorld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/PisurN.htm