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	TRIANGLES
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INDEX Triangle	Droites et points	Triangle et cercles	Brocard	Quatre triangles
		Somme = 180°
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180° dans le TRIANGLE

180 ° C'est le demi-tour C'est la somme des angles du triangle Démonstration

En bref

Pour tous les triangles, la somme des trois angles intérieurs est égale à 180° (un angle plat ou deux angles droits).

Un angle extérieur est égal à la somme des deux autres intérieurs. Sur la figure: angle extérieur en 1 = 2 + 3.

Si le triangle est rectangle, les deux angles non-droits sont complémentaires (=90°).

Cette propriété permet le pavage du plan pour tout type de triangle >>>

Voir Évaluation de CM1 / Autres relations avec les angles du triangle

APPROCHE

Le demi-tour de l'allumette

On pose une allumette sur un des côtés du triangle.

À chaque sommet, on fait pivoter l'allumette.

On peut imaginer un bébé à quatre pattes, rampant le long des bords d'un triangle creux. Il part tête en avant vers le coin bas droit. Une fois là il ne peut plus avancer et repart à reculons le long du bord en bas. Ses pieds buttent sur le coin bas gauche. Il se redresse le long du bord gauche et avance à nouveau, tête en avant. Arrivé en haut, il se remet le long du bord droit, prêt à poursuivre sa course, mais, cette fois, à reculons, là où, précédemment il était parti tête en avant!

À l'arrivée l'allumette se retrouve dans la position inverse à celle du départ.

Durant ce voyage, et en tournant selon les trois angles du triangle, l'allumette à fait: demi-tour.

.

Voir Parcours du piéton

Propriété

180 °

Somme des angles du triangle

Géométries non euclidiennes

Triangle dessiné sur une selle de cheval

Triangle dessiné sur une surface plane

Triangle dessiné sur une sphère

Voir Nombre 180 / Triangle sphérique / Les trois géométries

LE PIÉTON

La marche du piéton Un piéton fait le tour du triangle. On remplace l'allumette par un piéton. Il part d'un côté du triangle. Arrivé au premier sommet, il tourne de 180° - pour longer le premier côté . Au deuxième sommet il pivote de 180° - , de même au troisième avec une rotation de 180° - . En terminant de longer le dernier côté, il se retrouve au même endroit en ayant fait un tour complet de 360°. On peut faire le bilan suivant : (180 - ) + (180 - ) + (180 - ) = 360 180 + 180 + 180 - - - = 360 + + = 180° Un piéton matheux Un piéton matheux pense qu'il y a plus simple. Il fait un tour particulier du triangle. Arrivé au premier sommet, il tourne de et marche à reculons sur le côté suivant. Au deuxième sommet il pivote et reprend sa marche en avant sur le 3^e côté. Il termine en tournant de pour repartir à reculons. Parti en avant, il se retrouve au même endroit, mais à reculons. Au cours de son périple, il a fait demi-tour: + + = 180° C'est une autre version de la méthode allumette.

DÉMONSTRATION
Parallèle On trace la parallèle D à l'un des côtés, Passant par le sommet opposé à ce côté. Sous la droite D ' + ' + = 180° Les angles alternes-internes sont égaux: ' = ' = L'égalité devient: + + = 180°
Alternative Une démonstration alternative est basée sur cette figure.

Voir Angles alternes-internes / Parallèles et sécante

QUADRILATÈRE

Coupé en deux

Soit S la somme des angles du quadrilatère Q .

S1 pour Q1 et

S2 pour Q2.

Si la somme est une constante, alors:

S = S1 = S2

S = S1 = S2 =	S1 + S2 - A -B - C - D
S =	S + S - 180 - 180
S =	360

Propriété

360 °

Somme des angles d'un quadrilatère.

Voir Nombre 360

En pyramide

Voici une autre méthode pour démontrer la même chose.

On choisit un point quelconque dans le quadrilatère.

Le quadrilatère est ainsi formé de 4 triangles.

La somme des angles de ces 4 triangles est	SA = 4 x 180
C'est aussi la somme des angles aux points	M, A, B, C, et D
Or la somme des angles en M est de	SM = 360
Et, la somme des angles aux points A, B, C, et D est naturellement celle que l'on cherche	S
Rassemblons les morceaux	SA = 4 x 180 = 360 + S
En résolvant	S = 360

Cas amusant de deux fois trois carrés

Six carrés identiques (2 x 3).

Quelle est la somme des angles 1 à 6? Réponse: 180°

D'évidence, les angles 3 et 4, dans les carrés centraux, valent 45°.

La figure est symétrique. On se contente de monter que 1+2+3 = 90°.

La démonstration nécessite une petite construction supplémentaire.

Le quadrilatère en vert a ses quatre côtés égaux (diagonales de rectangles identiques); et l'angle en E, par exemple, est droit (alpha + bêta = 90°). C'est un carré.

AF est une diagonale et l'angle FAE = 1 + 2' = 45°.

Les triangles rectangles ACE et FBD sont égaux (rectangles identiques, coupés en deux par la diagonale); les angles sont égaux deux à deux: 2 = 2'.

En rapprochant les deux égalités: 1 + 2' = 1 + 2 = 45°

Et sachant que 3 = 45°, nous avons: 1 + 2 + 3 = 90°

Calcul des angles

Voir Angles / Trigonométrie

POLYGONES

Généralisation

La méthode précédente s'applique à tout polygone.

On choisit un point quelconque.

Le polygone est ainsi formé de triangles.

Exemple

Par rapport au quadrilatère, on ajoute un côté pour former un pentagone.

Un côté de plus => Un triangle de plus

La somme des angles de ces 5 triangles est	SA = 5 x 180
Celle du pentagone	S = 5 x 180 - 360
Soit	S = 3 x 180

Propriété

+ 180 °	Supplément d'angle, lorsqu'on ajoute un côté à un polygone.
(n – 2) 180 °	Somme des angles du polygone à n côtés.

Suite en Polygones - Propriétés

POLYÈDRES

Propriété

360 °

Limite de l'angle au sommet du polyèdre

Conséquence

Il n'y a que cinq polyèdres réguliers

Polygone à moins de 6 côtés

Les faces du polyèdre sont des polygones réguliers.

Un sommet appartient à trois faces au minimum.

L'angle maximum du polyèdre avec 3 de faces est 360°

Cas limite où les faces seraient pratiquement dans un même plan.

La somme des angles est donc strictement inférieure à 360°.

Voyons les différents types possibles de faces et

l'angle atteint par le polyèdre qui posséderait trois de ces faces.

	Triangle équilatéral	Carré	Pentagone régulier	Hexagone régulier
Somme des angles	180	360	3 x 180	4 x 180
Angle du polygone	60	90	108	120
Angle du polyèdre	120	270	324	360
Polyèdre possible ?	OUI	OUI	OUI	NON

Que cinq !

	Triangle équilatéral	Carré	Pentagone régulier
Angle du polygone	60	90	108
Combien de faces maximum	60 x 3 = 120 60 x 4 = 240 60 x 5 = 300	90 x 3 = 270	108 x 3 = 324
Pas possible Car 360 °	60 x 6 = 360	90 x 4 = 360	108 x 4 = 432
Total	3	1	1
Dans l'ordre	Tétraèdre Octaèdre Icosaèdre	Cube	Dodécaèdre

Suite	Démonstrations avec les angles orientés Énigme du triangle et des trois cercles
Voir	Allumettes Angle Carrés Carrés en rotation Cercles Droite Géométrie Jeux Polygones Symétries Triangle de Pythagore
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