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TRIPLETS de PYTHAGORE

Cercle Unité

Travail sur le cercle unité.

Trouver des nombres rationnels sur ce cercle.

Base du calcul sur les courbes elliptiques.

CERCLE UNITÉ

Un triplet de Pythagore se présente sous la forme a² + b² = c². Divisons chaque terme par c²: Vous reconnaissez l'équation d'un cercle u² + v² = R, avec un rayon unité. Dessinons ce cercle et portons en x la valeur rationnelle de (a/c) et en y celle de (b/c). Nous matérialisons ainsi un triplet de Pythagore sur le cercle unité. L'illustration présente deux de ces triplets: (3, 4, 5) ( 3/5, 4/5) (5, 12, 13) (5/13, 12/13)

Vers l'elliptique …

Abordons le cercle, non pas depuis le centre comme habituellement, mais depuis un point situé sur le cercle. On choisit le point à gauche du diamètre horizontal pour des facilités de calcul. Traçons la droite qui passe par ce point (– 1, 0) et un point (u, v) matérialisant un triplet. Si la pente de cette droite est t, son équation est v = t (u + 1). En associant cette équation à la condition à remplir pour être éligible en triplet de Pythagore: u² + v² = 1 nous pouvons choisir les coordonnées (u, v) en fonction de t: Ces valeurs, exploitant une identité remarquable, remplissent les conditions requises: u² + v² = 1 (1 – t²)² + (2t)² = (1 + t²)² En effet: 1 – 2t² + t^4 + 4t² = 1 + 2t² + t^4 = (1 +t²)² Et v = t(u + 1) 2t /(1+t²) = t ((1 – t²) / (1 + t²) + 1) 2t = t (1 – t²) + (1 + t²) 2t = t – t^3 + t + t^3 = 2t vérification terminée. Le choix de ces valeurs semble parachuté; en fait, il résulte d'une intuition aidée par une bonne connaissance des identités remarquables. L'allure de ces paramètres (u et v) en fonction de t, fait penser aux travaux qui mènent aux courbes elliptiques. Ce que confirme l'analyse complète.

Suite	Triplets – triangles Triplets – Historique Triangles héroniens et trigonométrie Les nombres t- congruents
Voir	Addition - Glossaire Années Pythagore Cercle trigonométrique Décade de Pythagore Programmation Pythagore – Biographie
Site	Cercle unité
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripCerc.htm