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Trigonométrie

 

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Trigonométrie

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Angles A, B et C

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Calculs particuliers

 

Sommaire de cette page

>>> Somme des angles – Démonstration quasi-muette

>>> Somme des angles – Démonstration algébrique

>>> Somme de sinus – Démonstration géométrique

>>> Somme de trois angles

>>> Angle triple – Somme de sinus

>>> Angle triple – Produit de sinus

 

 

 

 

 

Identités trigonométriques

DÉMONSTRATIONS

 

Justification des principales formules de trigonométrie.

 

 

Somme des angles – Démonstration quasi-muette

 

Résumé en image

 

 

Les angles sont visualisés.

Les longueurs se lisent immédiatement sur la figure.

 

Notez bien le segment unitaire (hypoténuse du triangle rectangle d'angle bêta).

 

Cette image seule suffit pour un esprit exercé en trigo. Sinon voyez une explication détaillée ci-dessous.

 

Explication géométrique

 

Deux triangles rectangles avec les angles alpha et bêta. L'angle alpha se retrouve en haut (suivre les indications en rose).

Sur chacun, on identifie les lignes trigonométriques: sinus et cosinus. Pour celui du haut l'hypoténuse est unitaire; sur celui du bas, elle vaut cos(béta).

Ces valeurs permettent de calculer les longueurs y1 et y2 (en vert) dont la somme est égale au sinus de l'angle-somme (hypoténuse égale à 1).

 

Même principe pour le calcul du cosinus.

En prenant – bêta,  le cosinus est le même tandis que le sinus change de signe.

 

Merci à Michel V. pour sa contribution

 

 

Somme des angles – Démonstration algébrique

Forme exponentielle des nombres complexes (Relation d'Euler)

Avec la somme

En développant l'exponentielle et en isolant la partie réelle de la partie imaginaire.

En égalisant les parties réelles et les parties imaginaires

 

 

Somme de sinus – Démonstration géométrique

On dessine les angles A et B, puis leur demi-somme et demi-différence.

Le triangle POQ est isocèle (deux côtés égaux à 1).

Les angles MOP et MOQ valent chacun A – B.

OM est la bissectrice du triangle isocèle OPQ et aussi la perpendiculaire en M.

On dessine MH perpendiculaires à l'axe des x.

Le point M est le milieu de PQ. Ses coordonnées:

Dans le triangle rectangle OMP.

 

Puis dans le triangle OMH.

En rapprochant ces valeurs.

Pour les formules en A – B :

Dessinez le triangle OMH' avec H' sur l'axe y.

Voir Multiplication avec ces identités (Prosthaphaeresis)

 

Somme des trois angles

Prouver cette relation.

On  va calculer les sommes deux à deux.

Simplification

Mise en facteurs

Somme des cosinus dans le crochet

En revenant dans E

 

 

Angle triple – Somme de sinus

3A = 2A + A

Angle double

Développement

Finalement

 

 

Angle triple – Produit de sinus

Formule en Pi/3 = 60° à prouver

 

Pour y arriver, la route est tortueuse!

*    D'abords recourir à la formule de la somme de trois angles qui, les trois angles étant identiques, fera apparaitre le sinus de 3A.

*    Finir le travail en invoquant les racines cubiques de l'unité exprimées en complexes, la somme desquelles étant nulles.

Somme de trois angles

A,

B = A + 2Pi/3

C = A – 2Pi/3

Conséquence

Cette relation met en évidence le sin de 3A, accompagné  de l'égalité que nous cherchons. Reste à montrer que les termes en plus valent 0.

Racine cubique de 1 en complexes

En multipliant tout par exp(ix)

Avec la formule d'Euler

En remplacement chaque terme

Partie réelle comme partie imaginaire sont nulles, alors

La partie verte étant nulle, nous retrouvons bien notre formule en rouge au signe négatif près.

Pour éviter la valeur négative, on retourne les termes dans les parenthèses

sin(A – B) = sinA . cosB – cosA . sinB

sin(B – A) = sinB . cosA – cosB . sinA = - sin(A – B)

La formule devient

Et pour le cosinus?

La même démonstration s'applique au cosinus de 3A, en prenant la partie réelle égale à 0.

Merci à Jean-Marc D. pour sa contribution

 

 

 

 

Bases

*    Trigonométrie – Débutant

*    Trigonométrie – Tables

*    Identités trigonométriques

Voir

*    Angles

*    Faire le tour du cercle (relations de base)

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

Aussi

*    Triangle

*    Pentagone

*    Identités remarquables

Sites

*      A formula for sin(3x) – Cut The Knot – Alexander Bogomolny

*      Trigonometric Addition formulas – Wolfram MathWorld

*      Prosthaphaeresis formulas, also known as Simpson's formulas – Wolfram MathWorld

*      Proofs of trigonometric identities – Wikipedia

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/RelDemo1.htm