Triangle isocèle, calcul d'intersections

Triangle isocèle rectangle – Exemple de démonstration
Problème Un triangle isocèle rectangle ABC, inscrit dans un cercle. Les trois bissectrices (en vert). Deux de leurs intersections avec le cercle en E et en F. Montrer que la droite EF est parallèle à la base AC du triangle ABC. Observations Une figure bien dessinée montre l'évidence (EF //AC) du fait des symétries dans la figure. On se souvient que les angles d'un triangle isocèle rectangle sont 90°, 45° et 45°, et que leur bissectrice les partage en deux parties égales: 45° et 22,5°.		Notez que l'angle ABC étant droit, il intercepte un diamètre. AC est un diamètre du cercle.
Résolution Dans le triangle isocèle rectangle ABC les angles valent 90° en B et 45° en A et C. La bissectrice CE forme deux angles de 22,5° en C. L'angle en F intercepte le même arc AE que l'angle ECA; il vaut 22,5°. Les bissectrices forment des angles de 22,5° en A et de 45° en B. La somme des angles du triangle ABO est égale à 90° et, angle AOB = 180 ° – 45° – 22,5° = 112,5° L'angle HOF = 180° – 112,5° = 67,5° Dans le triangle HOF, l'angle en H = 180° – 67,5°– 22,5° = 90° Le triangle ABI est isocèle rectangle en I; l'angle AIB est droit. Les deux droites AC et EF, perpendiculaires à la même droite BD, sont parallèles.	La démonstration peut se faire directement sur la figure en suivant l'ordre des indices précédant la valeur des angles.

Intersection – Triangle isocèle rectangle et bissectrice
Un triangle isocèle rectangle ABC. Ses angles à la base sont égaux à 45°. Sa base mesure 20 cm. La bissectrice BM coupe le côté opposé en M. Coordonnées du point M? Réponse selon la figure Explications complémentaires x et y sont les longueurs des deux côtés d'un triangle isocèle rectangle; ces longueurs sont égales. Dans le triangle rectangle BHM, la tangente de l'angle MBH = 45° / 2 est égale au rapport MH / BH et BH = 20 – x.
Notez que nous n'avons fait aucune hypothèse particulière sur la valeur de l'angle MBH = . Soit la formulation générale avec a la longueur de la base AB:

Voir Calcul de tangente 22,5°

Intersection – Cas général

Un triangle ABM

Angles alpha en A et bêta en B, quelconques

Coordonnées du point M?

Autrement dit quelle est la mesure de la hauteur et où se trouve-t-elle sur la base AB?

Réponse selon la figure

Explications complémentaires

La hauteur y intervient dans les deux triangles rectangles BHM et AHM.

En utilisant les tangentes (rapport entre les deux côtés de l'angle droit du triangle rectangle), cette valeur de y est connue deux fois en fonction de x. Nous obtenons une simple équation pour x dont la racine est un calcul algébrique.

Note: Nous avons recours à la trigonométrie (tangente). Le théorème de Pythagore, pour une fois, ne peut pas être utilisé car nous ne connaissons pas les mesures des hypoténuses.