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Limites en sinus et tangente Comment démontrer certaines
limites de fonctions en associant la géométrie et la trigonométrie. Simple et
efficace, encore fallait-il en avoir l'idée. Notez en passant l'interprétation
et la comparaison géométriques de sinus, arc et tangente. |
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Démontrez que: |
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Cette propriété est bien
connue: Notez le bien. Elle
sert très souvent. |
Pour les petits angles, le sinus est voisin de
l'angle lui-même, exprimé en radians. |
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Illustration Pour 30°, l'écart est de 2,3 centièmes et pour 10° cet écart fond à
moins de 1 /1000e. |
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Figure
Bleu: le cercle trigonométrique
(rayon unité).
Rouge: les triangles rectangles symétriques
OCA et OCB, dont les angles en O
valent x (en radians).
Vert: les deux tangentes au
cercle en A et B. Relations L'arc AB = 2x Note
Alors, pour la suite, on
prend x positif. Le cas négatif est identique. |
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Démo Comparons les longueurs |
Cette
relation est confirmée en desinant la tangente EF qui est manifestement
plus grande que l'arc AB. Le dévelopement
en série prouve également cette relation: |
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Découplons les égalités deux
à deux |
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Remise en relation |
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Lorsque x tend vers 0, le
cosinus grimpe vers 1 |
sinus x / x se trouve en sandwich entre 1
et une valeur dont la limite est 1, il tend lui-même vers 1. |
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Démontrez que: |
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Développons : |
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Passage à la limite: |
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Comparaison de l'écart en x, son sinus et sa
tangente pour des petits angles (en millièmes) Pour 10°, Esinus = 0,88 10-3 et
Etangente = -1,79 10-3. |
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Bilan
Jusqu'à
5°, voire 10°, on peut assimiler le sinus et la tangente à la valeur de
l'angle exprimé en radians: |
Suite |
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Voir |
Limite – Glossaire |
Aussi |
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