NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/09/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Table pour Pi/20, Pi/10 et Pi/5 >>> Calcul express pour Pi/10 = 18°, et multiples >>> Calcul pour Pi/ 5 >>> Approche >>> Recherche d'une piste >>> Mise en équation >>> Résolution >>> Bilan >>> Angles de l'icosagone

TRIGONOMÉTRIE

Calcul des lignes trigonométriques de l'angle 36° = Pi/5

Angle caractéristique de l'étoile à cinq branches.

Approximations

	sin 36° = cos 54°	= 0,587785252…
	10 / 17	= 0,588235294…
	Écart	= 0,000450042…
	tan 72°	= 3,077683543…
	tan 71,56505…°	= 3
	Écart	= 0,435 …°

Voir Construction approchée du pentagone avec 10/17 et avec arctan(3)

Table

Voir Nombre d'or = 2 x 0,8090 … = 1, 618 …

Calcul express pour 18° et multiples	haut
Voir Identités trigonométriques

Approche pour 36°

Nous connaissons a priori la valeur du sinus de Pi/5 (avec une calculette), et celle du sinus de ses voisins (connaissances du lycée). sin Pi/4 = sin(45°) = 0,707 … = sin Pi/5 = sin(36°) = 0,587 … sin Pi/6 = sin(30°) = 0,5 Nous nous proposons de calculer la valeur de sin(Pi/5) sous forme d'une expression avec radical et, bien entendu, sa valeur numérique. Il est sans doute possible d'y parvenir par: la géométrie, notamment celle du pentagone; la trigonométrie, en utilisant les relations entre les angles multiples; ou par l'algèbre en résolvant une équation. Nous allons utiliser une combinaison des deux dernières méthodes. L'explication de la résolution ne présente aucune difficulté pour des élèves de collèges. Par contre la trouver seul est une autre affaire.

Recherche d'une piste
Nous cherchons à connaître Sin(Pi/5). Nous connaissons le sinus de Pi. Il vaut 0. Rappelons-nous que la valeur du sinus se lit sur l'axe vertical (ordonnées). Pour l'angle valant Pi en radians, l'ordonnée vaut 0, comme pour l'angle 0, d'ailleurs. Suffit-il de diviser cette valeur connue pour Pi par 5 pour trouver celle de Pi / 5? Non ce serait trop simple. La figure montre bien que l'ordonnée y pour sin(Pi/5) est quelque part autour du 0,5. Nous savons déjà que c'est 0,587 … Mais l'idée n'est pas à laisser tomber! Oui, voici la piste de départ =>

Mise en équation
Fouillons dans la bibliothèque des relations trigonométriques pour connaître l'expression de l'angle quintuple.	sin (5x) = 16A^5 – 20A^3 + 5A avec A = sin(x)
En prenant x = / 5	sin (5 ( / 5)) = Sin ( ) = 0 = 16A^5 – 20A^3 + 5A avec A = sin( / 5)
Nous disposons d'une équation du cinquième degré. Pfiou … On sait qu'elles ne peuvent pas être résolues! Sauf que nous pouvons mettre A en facteur et A n'étant pas nul nous pouvons simplifier. Les puissances de A étant paires, nous pouvons procéder à un changement de variables. Du cinquième degré nous voilà revenu au second.	16A^5 – 20A^3 + 5A = 0 A (16A^4 – 20A^2 + 5) = 0 16A^4 – 20A^2 + 5 = 0 Avec B = A² 16B^2 – 20B + 5 = 0

Résolution
Les solutions de cette équation se calculent selon la méthode classique.	ax² + bx + c = 0
Application numérique. En divisant numérateur et dénominateur par 4. En changeant B par sa valeur.	ax² + bx + c = 0 16B^2 – 20B + 5 = 0 a = 16, b= –20 et c = 5 = (-20)² - 4 x 16 x 5 = 80 = 4² x 5
Valeurs numériques Nous connaissons le cadrage de sin (Pi/5). la seule valeur à retenir est la seconde.	A1 = 0,901 … (signe plus) A2 = 0,587 … (signe moins)
Autre formulation équivalente

Et les autres …
Sinus de Pi / 5
Cosinus: Calcul avec cos² = 1 – sin ²
Tangente Rapport sin sur cos.
Calcul de la forme simplifié de tangente Pi/5. Prenons le carré:

Valeur avec 100 décimales

Sinus

0, 5877852522 9247312916 8705954639 0727685976 5243764314

5991072272 4807572784 7416235195 7508504049 8627413360 …

Cosinus

0, 8090169943 7494742410 2293417182 8190588601 5458990288

1431067724 3113526302 3140945122 4853603602 0946955688 …

Tangente

0, 7265425280 0536088589 5466757480 6187496160 9239296520

8462750066 3273457493 9184568308 8420577522 2161400914 …

Voir Racine de 5

Trigonométrie des angles de l'icosagone
Calculs des sinus (les cosinus et tangentes s'en déduisent) Comment calculer cette valeur? Voir Formule trigo en quintuple / Résolution équation du second degré Résolution en x² En comparant à l'ordre de grandeur cherché => c'est le signe moins qui convient. Voir sin² + cos² = 1 Voir Formules de l'angle moitié

Voir Calculs pour Pi / 8 / Icosagone

Rappel	Trigonométrie – Débutant Trigonométrie et nombre d'or Angles en Pi / n Pentagone et étoile à cinq branches Pentagone – Construction et Pi/5 Angle du pentagone Décagone et tableau de trigo
Voir	Angles Angle Pi/5 dans le pentagone et le décagone Sinus et aire du triangle isocèle Calculs en trigonométrie (simples) Calculs en trigonométrie (avancés) Trigonométrie du pentagone Trigonométrie et nombre d'or Identités trigonométriques
DicoNombre	Nombre 0,587 … Nombre 0,726 … Nombre 0,809 …
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