NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Trigonométrie

 

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Trigonométrie

 

Calculs

 

Introduction

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Angles triangle

Exercice 04

 

Sommaire de cette page

>>> Calcul avec des cosinus

>>> Calculs avec des sinus

 

 

 

 

 

CALCULS EN TRIGONOMÉTRIE – 01

 

Produits de six cosinus égal à une fraction.

Produits de sept sinus égal à une fraction.

 

 

 

Produit de cosinus

 

Problème

Calculer ce produit sachant que 

cos(a) cos(2a) cos(3a) (cos4a) (cos5a) (cos6a)

 

Solution

La réponse se lit sur le cercle trigonométrique.

Les rayons verts représentent les angles de valeurs successives: 60°, 120°, 180°, …

Les cosinus de ces angles sont les segments sur l'axe horizontal: 1/2 ,  -1/2 , -1, -1/2, 1/2, et 1.

Leur produit avec ces trois valeurs négatives est négatif et il vaut: -1/16

  

Voir Brève 770 / Identités de ce type

 

 

 

Calcul avec des sinus (Calcul avancé)

 

Problème

 

Quelle est la valeur de l'expression, produit de sept sinus?

 

 

 

E = sin(    /14).

sin(  3/14) .

sin(  5/14) .

sin(  7/14) .

sin(  9/14) .

sin(11/14) .

sin(13/14)

 

Valeur numérique

 

Calcul numérique pour apprivoiser l'expression et savoir où nous mettons les pieds.

Observez la symétrie et la valeur centrale égale à 1.

 

 

 

E = 0,22252093 x 0,6234898 x 0,90096887

x 1

x 0,90096887 x 0,6234898 x 0,22252093

= 0,015625 = 1/64

 

Calcul

 

Cherchons à exploiter la symétrie dans l'expression de E.

Exprimons d'abord la valeur des facteurs extrêmes.

 

 

De même:

 

 

13      = 14     -

13/14 = 14/14 - /14

13/14 =            - /14

sin(13/14) =   sin( - /14)

sin(13/14) =   sin(     /14)

 

sin(11/14) =   sin(   3/14)

sin(  9/14) =   sin(   5/14)

 

Quant la valeur centrale:

7/14 = /2

sin(/2) = 1

 

On peut écrie E de la façon suivante:

E = sin(/14).sin(3/14).sin(5/14)

       sin(/14).sin(3/14).sin(5/14)

   = { sin(/14).sin(3/14).sin(5/14) }²

   =        

 

Reste à évaluer la valeur de k.

K = sin(/14).sin(3/14).sin(5/14)

 

 

Essayons de diviser le dénominateur par deux en faisant intervenir /2, le quart de cercle

 

Relation générale

sin() = cos(/2 - )

 

Application

sin(/14)   = cos(/2 - /14)

                 = cos(6/14) = cos(3/7)

sin(3/14) = cos(/2 - 3/14)

                 = cos(4/14) = cos(2/7)

sin(5/14) = cos(/2 - 5/14)

                 = cos(2/14) = cos(/7)

 

Où en sommes-nous?

 

Calcul à la calculette pour savoir ce qu'il faut trouver.

 

K = cos(/7). cos(2/7). cos(3/7)

 

K = 0,124999999…

Calcul littéral (suite)

L'astuce ici est de forcer l'utilisation de l'angle double.

 

 

Quitte à introduire une fraction unitaire en sinus pour obtenir une expression en sin.cos

 

 

 

En cascade, nous obtenons encore une expression en sin.cos

 

 

 

En remarquant que 3/7 = 7/7 - 4/7 et leur cosinus sont opposés.

 

À nouveau une expression en sin.cos

 

 

En notant que 
8
/7 =  + /7

La valeur de K est connue.

 

 

Et celle de K² aussi, de même que E.

 

K = cos(/7). cos(2/7). cos(3/7)

 

Relation générale

sin(2) = 2 sin().cos()

sin().cos() = 1/2 sin(2)

 

Application

 

K =

2 sin(/7)

   cos(/7). cos(2/7). cos(3/7)

2 sin(/7)

 

K =

sin (2/7)

     cos(2/7). cos(3/7)

2 sin(/7)

 

K =

sin (2/7).cos(2/7)

    cos(3/7)

2 sin(/7)

 

K =

sin (4/7)

      cos(3/7)

2 x 2 sin(/7)

 

K =

sin (4/7)

  (– cos(4/7) )

4 sin(/7)

 

K =

sin (4/7) . cos(4/7)

4 sin(/7)

 

K =

sin (8/7)

= –

sin (7/7 + /7) 

2 x 4 sin(/7)

8 sin(/7)

 

K = –

 – sin (/7) 

=

1

8 sin(/7)

8

 

E =      =

1

64

 

1/64 = 0, 015625

 

 

 

 

 

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Aussi

*  Angle et cercle trigonométrique

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