NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/11/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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CALCULS EN TRIGONOMÉTRIE – 01

Produits de six cosinus égal à une fraction.

Produits de sept sinus égal à une fraction.

Produit de cosinus
Problème Calculer ce produit sachant que cos(a) cos(2a) cos(3a) (cos4a) (cos5a) (cos6a) Solution La réponse se lit sur le cercle trigonométrique. Les rayons verts représentent les angles de valeurs successives: 60°, 120°, 180°, … Les cosinus de ces angles sont les segments sur l'axe horizontal: 1/2 , -1/2 , -1, -1/2, 1/2, et 1. Leur produit avec ces trois valeurs négatives est négatif et il vaut: -1/16

Voir Brève 770 / Identités de ce type

Calcul avec des sinus (Calcul avancé)
Problème Quelle est la valeur de l'expression, produit de sept sinus?	E = sin( /14). sin( 3/14) . sin( 5/14) . sin( 7/14) . sin( 9/14) . sin(11/14) . sin(13/14)
Valeur numérique Calcul numérique pour apprivoiser l'expression et savoir où nous mettons les pieds. Observez la symétrie et la valeur centrale égale à 1.	E = 0,22252093 x 0,6234898 x 0,90096887 x 1 x 0,90096887 x 0,6234898 x 0,22252093 = 0,015625 = 1/64
Calcul Cherchons à exploiter la symétrie dans l'expression de E. Exprimons d'abord la valeur des facteurs extrêmes. De même:	13 = 14 - 13/14 = 14/14 - /14 13/14 = - /14 sin(13/14) = sin( - /14) sin(13/14) = sin( /14) sin(11/14) = sin( 3/14) sin( 9/14) = sin( 5/14)
Quant la valeur centrale:	7/14 = /2 sin(/2) = 1
On peut écrie E de la façon suivante:	E = sin(/14).sin(3/14).sin(5/14) sin(/14).sin(3/14).sin(5/14) = { sin(/14).sin(3/14).sin(5/14) }² = K²
Reste à évaluer la valeur de k.	K = sin(/14).sin(3/14).sin(5/14)
Essayons de diviser le dénominateur par deux en faisant intervenir /2, le quart de cercle	Relation générale sin() = cos(/2 - ) Application sin(/14) = cos(/2 - /14) = cos(6/14) = cos(3/7) sin(3/14) = cos(/2 - 3/14) = cos(4/14) = cos(2/7) sin(5/14) = cos(/2 - 5/14) = cos(2/14) = cos(/7)
Où en sommes-nous? Calcul à la calculette pour savoir ce qu'il faut trouver.	K = cos(/7). cos(2/7). cos(3/7) K = 0,124999999…

Calcul littéral (suite)

L'astuce ici est de forcer l'utilisation de l'angle double.

Quitte à introduire une fraction unitaire en sinus pour obtenir une expression en sin.cos

En cascade, nous obtenons encore une expression en sin.cos

En remarquant que 3/7 = 7/7 - 4/7 et leur cosinus sont opposés.

À nouveau une expression en sin.cos

En notant que
8/7 = + /7

La valeur de K est connue.

Et celle de K² aussi, de même que E.

K = cos(/7). cos(2/7). cos(3/7)

Relation générale

sin(2) = 2 sin().cos()

sin().cos() = 1/2 sin(2)

Application

K =	2 sin(/7)	cos(/7). cos(2/7). cos(3/7)
	2 sin(/7)

K =	sin (2/7)	cos(2/7). cos(3/7)
	2 sin(/7)

K =	sin (2/7).cos(2/7)	cos(3/7)
	2 sin(/7)

K =	sin (4/7)	cos(3/7)
	2 x 2 sin(/7)

K =	sin (4/7)	(– cos(4/7) )
	4 sin(/7)

K = –	sin (4/7) . cos(4/7)
	4 sin(/7)

K = –	sin (8/7)	= –	sin (7/7 + /7)
	2 x 4 sin(/7)		8 sin(/7)

K = –	– sin (/7)	=	1
	8 sin(/7)		8

E = K² =	1
	64

1/64 = 0, 015625

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Aussi	Angle et cercle trigonométrique
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