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TRIANGLE ISOCÈLE Développements Triangle qui a deux côtés égaux; ou deux angles égaux (triangle
isoangle) Avec trois côtés (ou trois angles) égaux, le triangle est équilatéral. |
Orientation
Initiation, débutants,
voir Triangle isocèle, approche Développements sur le
triangle isocèle, voir cette page Le formulaire du triangle
isocèle, voir Propriétés Construction du
triangle isocèle, voir Constructions élémentaires Approfondir le
triangle isocèle, voir Menu d'en-tête |
Selon
l'angle au sommet: S'il
est inférieur à 90°, il est acutangle;
S'il est
égal à 90°, il est rectangle; et, S'il est
supérieur à 90°, il est obtusangle. |
Voir Trapèze isocèle / Découpage en triangles acutangles
Énigme: combien de triangles isocèles dans
le triangle isocèle?
Un triangle
isocèle contient quatre triangles isocèles de dimension moitié ou encore seize
pour le quart. |
Voir Jeux et énigmes
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A est le sommet. L'angle en A (alpha) est l'angle au sommet. Les angles en B et en C sont égaux.
A = 1/2 a² sin Voir Justification et autre
formule
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Un triangle qui a deux côtés de même
longueur est isocèle. |
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Voir
illustration
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Angles de 45° |
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Voir Exercice
d'application / Tangram /
Carré max. en triangle unitaire
Problème classique
Question Quelle
est la hauteur du triangle isocèle? Je connais les longueurs de la base (49,5
cm) et du côté (57 cm). Réponse La
hauteur partage le triangle isocèle en deux triangles rectangles. Le
bon vieux Pythagore fera
l'affaire. Je veux aussi connaître l'angle à
la base (A). Là,
il faut faire appel à la trigonométrie. Cos A = 24,75 /
57 = 0,434 A = Arccos (A)
= 64,2649° Sin A = h / 57 Sin 64,2649 =
0,900811 h = 0,900811 x
57 = 51, 3462 cm |
Voir Calculs des coordonnées de points d'intersection
Triangle
isocèle: si les deux côtés sont égaux, les deux angles aussi – Démonstration
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Triangle isocèle
quelconque
On reporte la longueur du
côté AB sur le côté BC, qui donne BK.
k² = a² + h²
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Triangle isocèle
rectangle et unitaire
Remarquez que le rapport entre
les aires des deux triangles est un nombre irrationnel (décimales
sans fin). On dit que ces aires sont incommensurables (en gros, la
division ne tombe pas juste) |
Cette figure montre une bonne
méthode pour dessiner
simplement une aire en racine
de 2. |
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½ , 1 , 1½
et 2. Voir Construction
géométriques des nombres / Construction du milieu
de AB au compas seul |
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Voir Nombre 0,5
Le plus petit entier
Le plus petit triangle isocèle ayant ses
côtés, une hauteur et son aire en nombre entiers et le triangle (5, 5, 6) >>> |
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Cette figure illustre une des constructions de racine de 3.
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(1 + ½)² +
( |
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Triangle d'or classique, celui qui constitue les
branches de l'étoile à cinq branches. Constitué de deux triangles
rectangles 18-72. Le triangle isocèle est tel que sa base mesurant
1, ses côtés égaux mesurent le nombre
d'or. |
cos |
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Propriétés de ce triangle d'or La bissectrice BD
partage le triangle isocèle en deux autres triangles isocèles ABD et DBC. Angle en C = 72°; Angle en B aussi et sa moitié vaut
36°. Angle en D vaut alors: 180 – 72 – 36 = 72° Le triangle BCD est isocèle et DB = BC = 1; tout comme
DAB. Les triangles ABC et BCD sont semblables: angle
égal et deux côtés de même longueur. Proportion des côtés: C'est la manière de calculer CD La longueur CD est égale à l'inverse du nombre
d'or 0,618 = 1,618 – 1 = 1/ 1,618. |
Triangle
isocèle avec base = 1 et côtés = nombre d'or. Le tracé de la bissectrice BD
produit des propriétés remarquables. |
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Voir Construction de l'angle de 18° / Construction du pentagone
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sin |
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Voir Autres valeurs de dimensions
(pentagone)
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tan |
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h = a cos ( b/2 = a
sin (
= ½ a cos ( = a² sin ( Or sin(x) cos(y) = ½ [ sin(x + y) + sin(x – y) ] Avec x = y = sin ( = ½ [ sin = ½ sin En reprenant la formule pour
l'aire:
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Autre évaluation de l'aire h² = a² - (b/2)²
= ¼ (4a²- b²) h
= ½ (4a²- b²)1/2
= ¼ b (4a²- b²)1/2 |
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Cas typiques Avec le triangle isocèle unité (a = 1).
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Voir Trigonométrie
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Montrez que si cette
relation est vérifiée le triangle est
isocèle. |
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Autre
écriture |
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Angle du triangle (180°). |
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Angles supplémentaires. |
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Simplification: |
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Conclusion: |
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Pour
rapprochement: formule de l'angle double: |
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Autre
considération |
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En
rapprochant le résultat avec celui de la loi des sinus |
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Langues Français triangle isocèle Anglais isosceles triangle Espagnol triangulo
isosceles Italien triangolo
isoscele Allemand gleichschenkliges Dreieck Étymologie
Anglais
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Trouvez un triangle isocèle inscrit dans
le cercle tel que les côtés passent par deux points donnés. Pour un billard circulaire: la balle A
doit rebondir une fois et frapper la balle B.
Problème ardu dont la solution date de
1997. |
Voir Billard d'Alhazen
Suite |
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Voir |
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Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/TrgIsoce.htm |
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Combien de triangles isocèles dans cette figure
en utilisant les sommets de A à H? Somme: 6 + 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 = 24 Attention à un dénombrement trop rapide qui
passerait à côté du doublon de 3. Retour / Dénombrement
/ Jeux |
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Cité par Stella Baruk
– Dico de mathématiques – Seuil