NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

INDEX

Résolution

 

Triangle

Résolution

Trois côtés (LLL)

Deux côtés (LAL)

Un côté (ALA)

Formules

Trois angles (AAA)

Deux côtés (LLA)

Un côté (AAL)

Formules avancées

T 13 14 15

Hypoténuse

Sommaire de cette page

>>> Figure & notations

>>> Angles et côtés

>>> Aire du triangle

>>> Cercles

>>> Droites

>>> Loi des sinus

>>> Loi des cosinus

 

>>> Loi des projections

>>> Loi des demi-angles

>>> Loi de Napier

>>> Loi des tangentes

>>> Loi des cotangentes

>>> Formule de Mollweide

>>> Médianes

>>> Exemple de Résolution

 

 

 

 

 

Formules fondamentales pour la RÉSOLUTION

du TRIANGLE QUELCONQUE

 

 

Toutes les formules utiles pour résoudre les triangles (connaissant trois mesures, trouver les trois autres).

Voir Relations trigonométriques – Formulaire pour le triangle

 

 

FIGURE & NOTATIONS

A B C

Sommets

a, b, c

Longueur des côtés

ha

hauteur portant sur le côté a

R

Rayon du cercle circonscrit (Oc)

r

Rayon du cercle inscrit (OI)

2s

s

= a + b + c (périmètre)

= demi-périmètre

AT

=  Aire du triangle

Le triangle est quelconque

(même s'il apparait rectangle sur cette figure; CB n'est pas un diamètre du cercle circonscrit).

Merci à Sylvie Gaudel pour ses remarques

 

 

Angles et côtés

 

a = b cos C + c cos B

b = a cos C + c cos A

c = b cos A + a cos B

Ici et pour la suite, le chapeau, symbole des angles, est omis.

 

AIRE DU TRIANGLE

 

AT est donnée par l'une de ces formules:

 

Voir Démonstration / Relations avec la hauteur / Formules de Héron  /

 Triangles héroniens /  Calcul de l'aire des quadrilatères

 

Voir Application dans le calcul d'un invariant 2 dans le triangle quelconque

 

 

CERCLES

 

 

Rayon du cercle inscrit

Voir Démonstration

 

 

 

Rayon du cercle circonscrit

 

Voir Démonstration

 

 

 

Droites

 

 

Hauteur

 

 

Bissectrice


 

 

 

Médiane

 

 

 

 

 

Note: calcul de l'aire et de la hauteur avec les formules pour l'exercice. On lit évidemment ces valeurs directement sur la figure: A = 6 x 10/2 = 30 et ordonnée de C = 6.

 

 

Exemple

 

Calculs numériques

 

 

 

LOI des SINUS

Avec D = 2R le diamètre du cercle circonscrit et A l'aire du triangle.

 

SUITE  Démonstrations et applications

Voir Application au partage du cercle

 

 

LOI des COSINUS (formules d'Al Kashi)

 

  

SUITE  Démonstrations et applications

Voir Exemple de calcul / Calcul de l'aire des quadrilatères / Al Kashi / Triangle rectangle ?

 

 

 

LOI des PROJECTIONS

 

 

 

LOI des DEMI-ANGLES

 

 

LOI de NAPIER

 

 

LOI des tangentes

Voir Formules trigonométriques d'addition

 

 

LOI des cotangentes

 

Formules de Mollweide

 

Médianes

*    Longueur des médianes avec milieu sur les côtés a, b et c.

 

Triangle quelconque rationnel

Comment trouver les fractions exactes qui caractérisent les longueurs et les angles dans un triangle quelconque >>>

 

 

 

Suite

*   Formules avancées dans le triangle quelconque

*   Relations trigonométriques – Formulaire

*    Résolution du triangle LLL  (trois côtés connus)

*    Formule de Héron et sa démonstration

*    Aire de la projection des triangles

*    Quadrilatère et diagonale inconnue

Voir

*    Cercle

*    Géométrie

*    Polygone

*    Triangle - Index

*    Triangle – Introduction

*    Triangle rationnel

*    Trigonométrie

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/RelQuel.htm