NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Triangles

 

Débutants

Triangle

TRIANGLES

RATIONNELS

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

Triangle

 

Ésotérisme

 

Isiaque

Entiers

Congruents

Pythagore

Héroniens

Même aire

Entier équilatéral

 

Sommaire de cette page

 

>>> Triangles Héroniens

>>> Paramètres génériques

>>> Héronien et trigonométrie

>>> Suite héronienne

>>> Problèmes ouvertes

 

 

 

 

 

TRIANGLES HÉRONIENS

 

 

Triangles quelconques dont les mesures sont des nombres entiers ou rationnels; côtés et aire.

 

Il y a 2000 ans, Héron d'Alexandrie donne un exemple: a = 13, b = 14 et c = 15 avec une aire de 84. Au XVIIe siècle, plusieurs mathématiciens reprendront les travaux: François Viète, C.G. Bachet and Frans van Schooten jr. Au XIXe, ils font l'objet de jeux. En 1934, Dickson fait le point sur ces triangles.

 

 

Exemple

Les triangles ABC et ABD sont héroniens. En effet:

Les longueurs des cotés sont entières: (19, 20 et 37)

Le demi-périmètre vaut s = ½ (19 + 20 + 37) = 38

L'aire se calcule avec la formule de Héron:

Et,     A = 114, un nombre entier.

Notez la construction du triangle quelconque: tracez AB de longueur 37, puis deux cercles de centre A et B de rayon 19 et 20.

Voir Nombre 114

 

 

TRIANGLES HÉRONIENS

 

*       Triangle dont l'aire est un nombre entier (en fait, un nombre rationnel).  Le triangle de Pythagore en est un, car son aire est égale à: (3 x 4 / 2 = 6) et il est rectangle.

 

*       Il en existe d'autres, très voisins, par forcément rectangles. En voici quelques exemples ci-contre.

 

Comment construire de tels triangles héroniens?

*       À partir de la formule de Héron qui donne l'aire du triangle quelconque: a, b et c sont les longueurs des trois côté.

P = 2 s = a + b + c, le périmètre. Le carré de l'aire du triangle est égale à:

 

A² = { s(s – a) (s – b) (s – c) }

 

Exemple avec le triangle isocèle 5 – 5 – 6

 

P = 5 + 5 + 6 = 16

s = 8

A² = 8 x 3 x 3 x 2 = 16 x 9

A = 4 x 3 = 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Paramètres génériques

 

Cas générique

 

 

Voici quelques exemples numériques

 

 

Les premiers triplets dans l'ordre de la longueur maximale

 

(3, 4, 5),   (5, 5, 6),   (5, 5, 8),   (6, 8, 10),   (10, 10, 12),

(5, 12, 13),   (10, 13, 13),   (9, 12, 15),   (4, 13, 15),

(13, 14, 15), (10, 10, 16), ...

 

 

Valeurs pour a, b et c <101                       Voir table

 

 

 

 

Héroniens et trigonométrie

 

*       Un triangle est héronien, ses trois côtés (a, b et c) étant des nombres entiers, son aire est aussi un nombre entier n, si et seulement s'il existe un nombre réel  compris entre 0 et  tel que:

 

 

Ce qui implique que le point (sin, cos) est un point rationnel, hors les points (1,0) et (-1,0), situé dans le quadrant positif du cercle unitaire.

 

Voir Trigonométrie / Cercle unité  et Suite en Nombre t-congruent

 

 

Suite héronienne

 

Cette suite de neuf valeurs est une suite héronienne trouvée par Paul Yiu, K. R. S. Sastry and Shanzhen Gao en 2007:

 

Côté

60

275

325

500

525

697

746

1345

1797

Aire

 

 

4950

41250

78750

130872

175644

175644

452844

 

Voir Heron Sequences and Their Modifications / OEIS A134587

 

Problèmes ouverts

 

On ne sait pas s'il existe des triangles héroniens avec médianes entières.

 

On ne sait pas s'il existe des triangles héroniens de Fibonacci (côtés = nombres de Fibonacci), autre que le triangle (5, 5, 8).

 

 

 

 

 

Suite

*    Tables des triangles héroniens

*    Triangles héroniens rectangles

Héron

*    Héron d'Alexandrie

*    Algorithme d'Héron

Voir

*    Cercles et triangle (3, 4, 5)

*    Ésotérisme

*    Nombre de la bête

*    Nombres congruents

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*    Triangles

*    Triplets de Pythagore

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