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TRIANGLES HÉRONIENS Triangles quelconques dont les mesures sont des nombres entiers ou rationnels; côtés et aire. Il
y a 2000 ans, Héron d'Alexandrie
donne un exemple: a = 13, b = 14 et c = 15 avec une aire de 84. Au XVIIe
siècle, plusieurs mathématiciens reprendront les travaux: François Viète,
C.G. Bachet and Frans van Schooten jr. Au XIXe, ils font l'objet
de jeux. En 1934, Dickson fait le point sur ces triangles. |
Exemple
Les
triangles ABC et ABD sont héroniens. En effet: Les
longueurs des cotés sont entières: (19, 20 et 37) Le
demi-périmètre vaut s = ½ (19 + 20 + 37) = 38 L'aire
se calcule avec la formule
de Héron: Et, A = 114, un nombre entier. Notez la construction
du triangle
quelconque: tracez AB de longueur 37, puis deux cercles de centre A et B
de rayon 19 et 20. |
Voir Nombre 114
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Comment
construire de tels triangles héroniens?
P
= 2 s = a + b + c, le périmètre. Le carré de l'aire du triangle est égale à: A² = {
s(s – a) (s – b) (s – c) } Exemple avec le triangle isocèle 5 – 5
– 6 P = 5 + 5 + 6 = 16 s = 8 A² = 8 x 3 x 3 x 2
= 16 x 9 A = 4 x 3 = 12 |
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Cas
générique Voici
quelques exemples numériques Les
premiers triplets dans l'ordre de la longueur maximale (3, 4,
5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12,
13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13,
14, 15), (10, 10, 16), ... Valeurs pour a, b et c <101 Voir table |
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Ce
qui implique que le point (sin |
Voir Trigonométrie
/ Cercle unité et
Suite en Nombre
t-congruent
Cette suite de neuf valeurs est une suite héronienne trouvée par Paul
Yiu, K. R. S. Sastry and Shanzhen Gao en 2007:
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Voir Heron
Sequences and Their Modifications / OEIS
A134587
On ne sait pas s'il existe des triangles héroniens avec médianes
entières. On ne sait pas s'il existe des triangles héroniens de Fibonacci
(côtés = nombres de Fibonacci), autre que le triangle (5, 5, 8).
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Suite |
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Héron |
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Voir |
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DicoNombre |
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