NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/10/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Triangles Héroniens >>> Paramètres génériques >>> Héronien et trigonométrie >>> Suite héronienne >>> Problèmes ouvertes

TRIANGLES HÉRONIENS

Triangles quelconques dont les mesures sont des nombres entiers ou rationnels; côtés et aire.

Il y a 2000 ans, Héron d'Alexandrie donne un exemple: a = 13, b = 14 et c = 15 avec une aire de 84. Au XVII^e siècle, plusieurs mathématiciens reprendront les travaux: François Viète, C.G. Bachet and Frans van Schooten jr. Au XIX^e, ils font l'objet de jeux. En 1934, Dickson fait le point sur ces triangles.

Exemple

Les triangles ABC et ABD sont héroniens. En effet:

Les longueurs des cotés sont entières: (19, 20 et 37)

Le demi-périmètre vaut s = ½ (19 + 20 + 37) = 38

L'aire se calcule avec la formule de Héron:

Et, A = 114, un nombre entier.

Notez la construction du triangle quelconque: tracez AB de longueur 37, puis deux cercles de centre A et B de rayon 19 et 20.

Voir Nombre 114

TRIANGLES HÉRONIENS
Triangle dont l'aire est un nombre entier (en fait, un nombre rationnel). Le triangle de Pythagore en est un, car son aire est égale à: (3 x 4 / 2 = 6) et il est rectangle. Il en existe d'autres, très voisins, par forcément rectangles. En voici quelques exemples ci-contre. Comment construire de tels triangles héroniens? À partir de la formule de Héron qui donne l'aire du triangle quelconque: a, b et c sont les longueurs des trois côté. P = 2 s = a + b + c, le périmètre. Le carré de l'aire du triangle est égale à: A² = { s(s – a) (s – b) (s – c) } Exemple avec le triangle isocèle 5 – 5 – 6 P = 5 + 5 + 6 = 16 s = 8 A² = 8 x 3 x 3 x 2 = 16 x 9 A = 4 x 3 = 12

Paramètres génériques
Cas générique Voici quelques exemples numériques Les premiers triplets dans l'ordre de la longueur maximale (3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 10, 16), ... Valeurs pour a, b et c <101 Voir table

Héroniens et trigonométrie
Un triangle est héronien, ses trois côtés (a, b et c) étant des nombres entiers, son aire est aussi un nombre entier n, si et seulement s'il existe un nombre réel compris entre 0 et tel que: Ce qui implique que le point (sin, cos) est un point rationnel, hors les points (1,0) et (-1,0), situé dans le quadrant positif du cercle unitaire.

Voir Trigonométrie / Cercle unité et Suite en Nombre t-congruent

Suite héronienne

Cette suite de neuf valeurs est une suite héronienne trouvée par Paul Yiu, K. R. S. Sastry and Shanzhen Gao en 2007:

Côté	60	275	325	500	525	697	746	1345	1797
Aire			4950	41250	78750	130872	175644	175644	452844

Voir Heron Sequences and Their Modifications / OEIS A134587

Problèmes ouverts

On ne sait pas s'il existe des triangles héroniens avec médianes entières.

On ne sait pas s'il existe des triangles héroniens de Fibonacci (côtés = nombres de Fibonacci), autre que le triangle (5, 5, 8).

Suite	Tables des triangles héroniens Triangles héroniens rectangles
Héron	Héron d'Alexandrie Algorithme d'Héron
Voir	Cercles et triangle (3, 4, 5) Ésotérisme Nombre de la bête Nombres congruents Pépites Résolution des triangles Triangles Triplets de Pythagore
DicoNombre	Nombre 3 Nombre 4 Nombre 5 Nombre 13 Nombre 3 600
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