NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/10/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	PUISSANCES
Débutants Général	Puissances de 2				Glossaire Puissance
INDEX Puissances de 2 Puissances des nombres	Approche	Propriétés	Valeurs –Tables	Derniers chiffres
	Fermat	Cullen	Woodall	Proth
	Mersenne	Carol et Kynea	Sierpinski	Riesel
	Poulet	Polis	R = (2^p – p) p# - 1
	Sommaire de cette page >>> Puissances de 2 et voisins >>> Les derniers chiffres sont cycliques >>> Puissances de 2: jamais somme de consécutifs >>> Les puissances de 2 sont presque parfaites >>> Puissances de 2 et binaire >>> Somme des puissances de 2 >>> Divisibilité par 3		>>> Triangle de Pascal >>> Puissances de 2 et 2n >>> Puissances de 2 et cubes >>> Progression des puissances de 2 >>> Puissance de 2 1 >>> Divisibilité par n de 2^n +1 >>> Formule originale >>> Papier plié >>> Produit avec puissances de 2

PUISSANCE de 2

Propriétés

À retenir

Puissances de 2 et voisins

Puissance	Non puissance de 2
2 ^n	Nombres polis ou nombres escaliers

Mersenne	Fermat	Fermat généralisé
2 ^p – 1	2 ^2 à la puissance k + 1	n ^2 à la puissance k + 1

Woodall	Cullen	Riesel	Proth	Sierpinski	Brier

Carol et Kynea	Thabit	Fraction dyadique	Premiers en
	2^n+1 + (2^n – 1)		2^n – 1 + n

Voir Nombres binaires particuliers / Nombres 2-adiques / Types de nombres premiers /

Puissances et exposants – Index

Amusements avec un nombre en puissances de 2

1 / 998 = 0,001 002 004 008 016 032 064 128 256

513 026 052 104 208 416 833 667 ….3

Suite des puissances de 2 jusqu'à 256 = 2⁸.

Application d'une identité remarquable avec les puissances de 2:

Voir Motifs sur les racines carrés

Devinette

Rectifier l'opération en déplaçant un seul chiffre.

Solution

Relations entre puissances de 2

Tous ces nombres sont des repunits en binaire. Ex: 63 = 111111₂

Voir Identités remarquables en Aⁿ – 1

Ils sont peu

Liste des nombres n tels que n – 2^k positif sont tous premiers.

[1, 7, 15, 21, 45, 75, 105]

Exemple: 105 => 103, 101, 97, 89, 73, 41 sont premiers

4 = 3⁰ + 31 et 256 = 3⁰ + 3¹ + 3² + 3⁵

Seuls cas connus d'une puissance de 2 égale à une somme de puissances de 3 distinctes. Aucune en puissance de 5. Avec la puissance 7, on a le seul cas de 8 = 7⁰ + 7¹.

Voir Cas des puissances de 3

Les derniers chiffres des puissances de 2
Rappel des puissances de 2:	2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 …
Les unités se répètent selon un cycle de longueur 4:	2, 4, 8, 6
Les deux derniers chiffres se répètent selon un cycle de longueur 20:	4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52
Les trois derniers chiffres se répètent selon un cycle de longueur 100:	8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 24, 48, 96, 192, 384 …
Lp est la longueur de la période pour m derniers chiffres. La période commence à partir de 2^m.	Lp = 4 . 5^m – 1
Bilan pour m successifs de 1 à 10:	4, 20, 100, 500, 2 500, 12 500, 62 500, 312 500, 1 562 500, 7 812 500
Les puissances négatives de 2 se terminent alternativement par 125 et 625, sauf les deux premières.

Voir Table des puissances de 2 avec mise en évidence des derniers chiffres /

Programmation de la recherche des derniers chiffres d'une puissance de n /

Derniers chiffres des cubes

Les PUISSANCES de 2 ne sont pas sommes de consécutifs
La partition des puissances de 2 avec des nombres consécutifs est impossible.	Exemple 2^4 = 16 Parmi les 231 partitions du nombre 16, aucune n'est somme de deux nombres consécutifs ou plus.

Voir Les puissances de 2 sont des nombres 2-friables

Les PUISSANCES de 2 sont presque parfaites
Toutes les puissances de 2 sont presque parfaites (déficience égale à 1). Anglais: least deficient or near-perfect numbers.	Exemple 2^4 = 16 Diviseurs propres: 1, 2, 4, 8 Somme: 15 Soit une déficience de 1.

PUISSANCES de 2 et BINAIRE
Numération Comme les puissances de 10 sont à la base du système décimal, les puissances de 2 sont à la base du système de numération binaire Remarque 1112 = 710 = 2^2 + 2^1 + 2^0 10002 = 810 = 2^3 Plus généralement 2^n – 1 = 11 …11 en binaire 2^n = 1 00 …00 en binaire	10112 = 1 x 2^3 + 0 x 2^2 + 1 x 2^1 + 1 x 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110 Toutes les puissances de 2 de 0 à 4. n fois le 1 Un 1 et n fois le 0

Unité des puissances de 2

Les unités des puissances de 2 se répètent selon un cycle de quatre valeur: 2, 4, 8, 6. Soit le tableau résumé suivant:

Voir Unités des puissances

SOMME DES PUISSANCES DE 2

Observations

On calcule les puissances de 2 et leur somme cumulée S_n

n	2^n	Sn
0	1	1
1	2	3
2	4	7
3	8	15
4	16	31
5	32	63
6	64	127
7	128	255
8	256	511
9	512	1 023
10	1 024	2 047

On note, par exemple

1 024 – 1	= 1 023
2^10 – 1	= S9
2^n+1 – 1	= Sn

Exemple développé avec S₉

1 023	= 2^10 - 1 = 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1en binaire Somme des puissances successives de 2
1 024	= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 en binaire = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 en binaire La conversion binaire montre explicitement la relation entre 1 023 et 1 024.

Théorèmes

La somme des puissances de 2 est égale à

la puissance de deux suivante moins 1.

S_n = 2ⁿ⁺¹ – 1

Une puissance de deux est égale à la somme de

toutes les puissances de deux inférieures plus un.

2ⁿ⁺¹ = S_n + 1

2ⁿ = S_n-1 + 1

Exemple

S100	= 2^101 – 1 = 2 535 301 200 456 458 802 993 406 410 751

Formulation

Voir Somme des puissances / Identité remarquable

Inverse des puissances de 2

EN Résumé: suites géométriques de raison 2 et 1/2

Ce sont effectivement deux suites géométriques dont on connait immédiatement la somme. Pour l'exemple, on va tout de même en étudier quelques démonstrations.

Voir Variations sur les sommes / Nombre presque-parfaits / Compter les parties de tennis

Puissances de 2 et divisibilité par 3

La somme de deux puissances de 2 consécutives est divisible par 3. C'est vrai également pour la concaténation

Suite Puissances de 2 et divisibilité par 3 / Brève de math 491

Démonstration par induction
On suppose que la formule est vraie pour n.	Sn = 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2 + 1 = 2^n – 1
On passe à n+1.	Sn+1 = 2^n + 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2 + 1 Sn+1 = 2^n + Sn
On remplace Sn par sa valeur dans la formule de récurrence.	Sn+1 = 2^n + 2^n – 1
Deux fois 2^n	Sn+1 = 2^n+1 – 1
La relation obtenue est la formule de récurrence appliquée à n+1.	Si la formule est vraie pour n, elle est vraie pour n+1
Or elle est vraie pour 1.	S0 = 2^0 = 1 = 2^1 – 1 = 2 – 1 = 1
Formule vraie pour n+1, si vraie pour n Or vraie pour 1 Donc vraie dans tous les cas.

Voir Démonstration par induction

Démonstration par sommes
Il faut commencer par une astuce comme souvent en maths. Désolé!	2^n = 2^n (2 – 1) 2^n = 2^n+1 – 2^n
Muni de cet outil voyons notre somme.	Sn = 2^n + 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2 + 1
Remplaçons par notre formule magique. On se souviendra que 2^0 = 1. (Voir Explication)	Sn = 2^n + 2^n-1 + 2^n-2 + … + 2^1 + 2^0	Sn = 2^n+1 – 2^n + 2^n – 2^n-1 + 2^n-1 – 2^n-2 + … + 2^2 – 2^1 + 2^1 – 2^0
Additionnons, en observant les termes qui s'éliminent deux à deux.	Sn = 2^n+1 – 2^0 = 2^n+1 – 1

DIVISIBILITÉ par 3
2^n = 2 x 2 x … 2	N'est évidemment pas divisible par 3 (aucun des facteurs n'est divisible par 3).
2^2n = 3k + 1	Les puissances paires de 2, divisées par 3, donne un reste de 1.
2^2n+1= 3k + 2	Les puissances impaires de 2, divisées par 3, donne un reste de 2.
Illustration

Voir Divisibilité des puissances de 2 / Divisibilité des puissances de 2 moins unité

TRIANGLE DE PASCAL
La somme des coefficients de la ligne n du triangle de Pascal vaut 2 ^n. Explications On peut retrouver facilement cette propriété en remarquant que 2 = 1 + 1 Et alors, on calcule 2^n = (1 + 1)^n sur la base du développement du binôme. Celui-ci fait intervenir les coefficients du binôme qui ne sont autres que les termes du triangle de Pascal.

PUISSANCES de 2 et 2n
Montrez que		2^n	> 2n pour n > 2
Point de départ		2^3	= 8 > 2 x 3 = 6 Vrai pour 3
Hypothèse		2^k	> 2k
Démontrez sous cette hypothèse		2^k + 1	> 2 (k + 1)
Développement de la puissance			= 2 x 2^k
Selon l'hypothèse			> 2 x 2k
Factorisation			> 2 (k + 1)
Induction	Propriétée vraie pour k = 3. Propriétée rai pour k + 1 si vraie pour k Alors, toujours vraie pour n > 2.

Voir Démonstration par induction

PUISSANCES de 2 et cubes
Montrez que		2^n	> n^3 pour n > 9
Point de départ		2^10	= 1024 > 1000 Vrai pour 10
Hypothèse		2^k	> k^3
Démontrez sous cette hypothèse		2^k + 1	> k^3 + 1
Développement de la puissance			= 2 x 2^k
Selon l'hypothèse			> 2 x k^3
Explicitation			> k^3 + k^3 > k^3 + k . k^2
Minoration pour nous arranger			> k^3 + 7 . k^2 > k^3 + 3 . k^2 + 3 . k^2 + k^2 > k^3 + 3 . k^2 + 3 . k + 1
			> (k + 1)^3
Induction	Propriétée vraie pour k = 10 Propriétée rai pour k + 1 si vraie pour k Alors, toujours vraie pour n > 9.

PROGRESSION DES PUISSANCES DE 2
Plus grand nombre avec 3 deux	= (2²)² = 2^(2²) ^² = 4^2 = 2^4 =	16
	222 =	222
	22² =	484
	2²² =	4 194 304
Plus grand nombre avec 4 deux	2 222	10 ^3
	222 ² = 49 284	10 ^4
	= ((2²)²)² = 2^2^2^2 = 65 536	10 ^5
	= 484 ^2	10 ^14
	22 ²²	10 ^29
	2 ²²²	0,67 10 ^67
	= 2 ²²^² = 2^484	0,5 10 ^146
	= 2²^²² = 2^4 194 304	10 ^1 262 612

Voir Échecs / Tour de Brama ou de Hanoi

PUISSANCE DE 2 – 1

2^67 – 1 = 1, 47… 10^20 = 147 573 952 589 676 412 927 = 193 707 721 x 7 618 388 257 287 En 1876, Lucas montre que ce nombre est composé. Il a été factorisé en 1901 par F. Cole. Voir Ce nombre Anecdote: Frank Cole est professeur de mathématiques à l'université Columbia de New York. En 1903, lors d'une cession de la Société mathématique américaine, sans dire un mot, il écrit au tableau le nombre de Mersenne 2^67 – 1, puis sur l'autre tableau le produit de deux nombres, et, enfin, entre les deux le signe égal. Il avait passé trois années de ses temps libres pour arriver à factoriser ce nombre.

À noter

Pour tout n entier > 1 on n'a jamais n (2ⁿ – 1): une puissance de 2 moins 1 n'est jamais divisible par son exposant.

Une infinité de nombres sont tels que n (2ⁿ + 1), notamment pour n = 3k

Une infinité de nombres sont tels que n (2ⁿ + 2)

PUISSANCE DE 2 1 – Nombres premiers
Pour N <50 Seules 8 + 5 - 1 (3 étant en double) = 12 valeurs de 2^N 1 sont premières pour N < 50. Pour N >50 Nombres 2^N 1 qui sont premiers. (N n'est donné que si l'un des deux nombres est premier) Vérifié jusqu'à 1900 Suite en Nombres de Mersenne Factorisations historiques En 1730, Euler montre que: En 1880, Landry et Le Levasseur montrent que: En 1970, Morrison et Brillhart montrent que:

Voir Machine à factoriser des frères Carissan

Divisibilité par n de 2ⁿ + 1, etc.

Les exposants n suivants sont tels que n divise 2ⁿ + 1:

1, 3, 9, 27, 81, 171, 243, 513, 729, 1539, 2187, 3249, 4617, 6561, 9747, 13203, 13851, 19683, 29241, 39609, 41553, 59049, 61731, 87723, 97641, 118827, 124659, 177147, 185193, 250857, 263169, 292923, 354537, 356481, 373977, 531441, 555579, 752571, 789507, 878769, …

Les exposants n suivants sont telles que n divise 2ⁿ + 2:

1, 2, 6, 66, 946, 8646, …

Les exposants n suivants sont telles que n divise 2ⁿ + 3:

1, 5, 917, 3223

Avec 2ⁿ – 1 : ces nombres ne sont jamais divisibles par n (sauf n = 1).

UNE FORMULE ORIGINALE
Équation Exemples Équation amusante découverte et démontrée en 1986 par Pascal Peyremorte

PAPIER PLIÉ

1 125 899 906 842 624 = 1,126 10 ¹⁵ morceaux de papier plié.

On prend une feuille de papier à cigarette de 1/50 mm (très fin!).

il en faut 500 pour faire 1 cm d'épaisseur.

On déchire la feuille en deux et on empile les morceaux.

On recommence l'opération 50 fois.

Quelle est la hauteur de la pile?

La première déchirure donne	2 = 2^1 morceaux
La seconde en donne	4 = 2²
Puis	2^3
Etc.
Au 20^e coup	2^20 = 1 048 576	=> 20 mètres
30^e		=> 20 km
40^e		=> 25 000 km
Au total: 50^e	1 126 000 000 000 000	=> 22 millions de km

Distance à comparer à (en km)

Lune	diamètre	3 476
Terre	circonférence	40 000
Lune	orbite	384 400
Soleil	diamètre	1 392 530
Papier	déchiré	22 000 000
Terre	orbite	150 000 000

Voir Périmètre du papier plié / Timbres / Feuille pliée - Débutant / Courbe du dragon

Produit avec puissances de 2
Produit infini avec les puissances de 2. Euler a montré que de produit peut être calculé plus facilement avec la somme infinie: 1 – x – x^2 + x^5 + x^7 – x^12 – x^15 + x^22 + x^26 – x^35 – x^40 + … Les exposants sont les nombres pentagonaux généralisés: n(3n – 1 ) / 2 avec n = 0, +1, -1, +2, -2 …

Voir Sommes de suites qui rendent fou

Nombres premiers en 2ⁿ – n

2, 3, 9, 13, 19, 21, 55, 261, 3 415, 4 185, 7 353, 12 213 …

Solution de la devinette

Rectifier l'opération en déplaçant un seul chiffre.

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DicoNombre	Nombre 0,2887 …
Sites	Jeu du 2048 – Déplacez des tuiles, comme sur un jeu de taquin – jeu à la mode en 2014. Voir Sur ce site OEIS A001318 – Generalized pentagonal numbers
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Puiss2.htm