NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/05/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	Nombres complexes
Débutants Complexes	PUISSANCE			Glossaire Complexe
INDEX Complexes		Réelle (principes)	Réelle (calculs)	Imaginaire
		Réelle entière	Réelle (gd nombre)	Complexe
		Sommaire de cette page >>> Puissance complexe devenant entière >>> Table de valeurs >>> Puissances avec deux radicaux

PUISSANCE entière

d'un nombre complexe

Quels sont les nombres complexes qui, élevés à une puissance, produisent un résultat totalement réel, sans partie imaginaire. Le résultat peut être un nombre entier ou inclure des racines carrées.

Exemple: ( 1 + i )⁸ = 16

Puissance complexe devenant entière
Carré	(a + ib)^2 = a^2 – b^2 + 2 iab	Condition: 2 iab = 0 a = 0 ou b = 0
Cube	(a + ib)^3 = a^3 – 3ab^2 + i (3a^2b – b^3)	Condition: 3a^2b – b^3 = 0 b= 0 ou 3a^2 – b^2 = 0 b = a3 Exemple: (1 + i 3)^3 = 1 – 9 + i (33 – 33) = – 8 (2 + i 23)^3 = – 64
P4	(a + ib)^4 = a^4 – 6a^2b^2 + b^4 + i (4a^3b – 4ab^3)	Condition: 4a^3b – 4ab^3 =0 a = 0 ou b = 0 ou a^2 – b^2 = 0 b = b Exemple: (1 + i)^4 = – 4 (2 – 2i)^4 = – 64
P5	(a + ib)^5 = Re + i (5a^4b – 10a^2b^3 + b^5)	Condition: 5a^4b – 10a^2b^3 + b^5 = 0 b = 0 ou 5a^4 – 10a^2b^2 + b^4 = 0 Seule possibilité a = b = 0.
P6	(a + ib)^6 = Re + i (6a^5b – 20a^3b^3 + 6ab^5)	Condition: a = 0 ou b = 0 ou 3a^4 – 10a^2b^2 + 3b^4 On retrouve: b = a3 Exemple: (1 + i 3)^6 = ((1 + i 3)^3)^2 = (– 8)^2 = 64 Et de nombreuses autres solutions (2+ i 6)^6 = 512 (3+ i 3)^6 = 1 728 (5+ i 15)^6 = 8 000

Table des valeurs jusqu'à 10 000
Les premières puissances de nombres complexes donnent pour résultats les nombres 4 et 8, des puissances de 2. On comprend que les puissances plus élevées nous donnent les autres puissances de 2. À partir de ces valeurs, il est possible de construire leurs multiples. Par exemple: – 8 = (1 + i 3)^3 64 = (2 + 2i 3)^3 = (1 + i 3)^6

Cas des puissances avec deux radicaux identiques

Partant de l'égalité ( 1 + i )^4 = – 4 , nous pouvons en créer une infinité par multiplication de chaque côté ( k + i.k )^4 = – 4 k^4 . Et, cela est valable pour toute valeur de k entière. Cette propriété reste valable aussi pour les racines qui produiront des nombres réels, voire parfois des nombres entiers. Avec la racine carrée, ce sont des nombres entiers, comme vous pouvez le constatez sur ce tableau. Un nombre complexe du type (x + i x)^k est entier si k est un multiple de 4. Il est purement imaginaire si k = 4h + 2. Avec la racine cubique, voici des exemples et les formules générales: Un nombre complexe du type (x + i x)^k est entier si k est un multiple de 12. Il est purement imaginaire si k = 12h + 6. Avec la racine cinquième, ( + i )^k est entier si k est un multiple de 20 (= 4 x 5).

Suite	Puissances réelles Puissances de 2 et complexes
Voir	Constantes Construction de l'heptagone Inventaire des types de nombres Nombre de Gauss Nombres – Glossaire et index Nombres d'Eisenstein Nombres périodiques Nombres réels
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/aaaCompl/PuisEnti.htm