NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Puissance complexe devenant entière

>>> Table de valeurs

>>> Puissances avec deux radicaux

 

 

 

PUISSANCE entière

d'un nombre complexe

 

Quels sont les nombres complexes qui, élevés à une puissance, produisent un résultat totalement réel, sans partie imaginaire. Le résultat peut être un nombre entier ou inclure des racines carrées.

 

Exemple:                   ( 1 + i )8   =   16

 

 

 

Puissance complexe devenant entière

 

Carré


(a + ib)2  = a2 – b2

+ 2 iab

 

Condition: 2 iab = 0

a = 0 ou  b = 0

 

Cube


(a + ib)3  = a3 – 3ab2 + 

i (3a2b – b3)

 

Condition: 3a2b – b3  = 0

b= 0 ou

3a2 – b2  = 0

b = a3

 

Exemple:

(1 + i 3)3 = 1 – 9 + i (33 – 33) = – 8

(2 + i 23)3 = – 64

  

 

P4


(a + ib)4  = a4 – 6a2b2 + b4 +

 i (4a3b – 4ab3)

 

Condition: 4a3b – 4ab3 =0

a = 0 ou b = 0 ou

a2 – b2 = 0

b =  b

 

Exemple: (1 +   i)4 = –   4

               (2 – 2i)4 = – 64

 

 

P5


(a + ib)5  = Re +

 i (5a4b – 10a2b3 + b5)

 

Condition: 5a4b – 10a2b3 + b5 = 0

b = 0 ou

5a4 – 10a2b2 + b4 = 0

Seule possibilité a =  b = 0.

 

 

P6


(a + ib)6  = Re +

 i (6a5b – 20a3b3 + 6ab5)

 

Condition:

a = 0 ou b = 0 ou

3a4 – 10a2b2 + 3b4

On retrouve: b = a3

Exemple: (1 + i 3)6 = ((1 + i 3)3)2

= (– 8)2 = 64

 

Et de nombreuses autres solutions

(2+ i 6)6    =    512

(3+ i    3)6    = 1 728

(5+ i  15)6 = 8 000

 

 

 

 

Table des valeurs jusqu'à 10 000

 

*    Les premières puissances de nombres complexes donnent pour résultats les nombres 4 et 8, des puissances de 2. On comprend que les puissances plus élevées nous donnent les autres puissances de 2.

 

 

 

*    À partir de ces valeurs, il est possible de construire leurs multiples.
Par exemple:   – 8 = (1 + i
3)3      64 = (2 + 2i 3)3    = (1 + i 3)6

 

 

Cas des puissances avec deux radicaux identiques

 

*    Partant de l'égalité ( 1 + i )4   = – 4 , nous pouvons en créer une infinité par multiplication de chaque côté ( k + i.k )4   = – 4 k4 . Et, cela est valable pour toute valeur de k entière. Cette propriété reste valable aussi pour les racines qui produiront des nombres réels, voire parfois des nombres entiers.

 

*    Avec la racine carrée, ce sont des nombres entiers, comme vous pouvez le constatez sur ce tableau.

 

Un nombre complexe du type (x + i  x)k est entier si k est un multiple de 4.

Il est purement imaginaire si k = 4h + 2.

 

*    Avec la racine cubique, voici des exemples et les formules générales:

 

 

Un nombre complexe du type (x + i  x)k est entier si k est un multiple de 12.

Il est purement imaginaire si k = 12h + 6.

 

*    Avec la racine cinquième, ( + i   )k est entier si k est un multiple de 20 (= 4 x 5).

 

 

 

 

Suite

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