NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/11/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Cas de 1 et 1/2 >>> Généralisation >>> Cas de 1/10 >>> Inverse des puissances d'un nombre >>> Développement

SÉRIES en 1 / (1 – x)

Notamment pour x < 1.

Voir DicoMot Maths – Suites et Séries

Approche
Quelle est la valeur de certaines sommes infinies? Voyez le tableau. Curieux, non! Avec du 1/3 on fabrique du 1/2; Avec du 1/4 on fabrique du 1/3; …

Voir Fractions unitaires / Développement p-adiques

Cas de 1 et 1/2
Pas si paradoxal avec une bonne illustration. Découpes successives du carré de côté 1: 1 = ½ + ¼ + ^1/8 + ^1/16 + ^1/32 + ^1/64 + … Somme des inverses des puissances de 2.
Suite de puissances de ½
Démonstration par sommations: On écrit la somme que l'on soustrait de son double.

Généralisation
Formulation pour 0 < x < 1 Condition d'existence de S.
Identité utile: somme jusqu'à n Soit la somme limitée au rang n: Sn = 1 + x + x^2 + … + x^n (1 – x) Sn + x^n+1 = 1 ce qui donne: Cette formule redonne celle trouvée ci-dessus pour x^n+1tendant vers zéro. Exemple d'application avec x = ¼ En développant jusqu'à l'ordre n, il manqué exactement une fois l'ordre suivant (n+1) pour faire 1:	Illustration avec x = ¼ (Archimède) La figure montre bien les écritures possibles pour 1: 1 = 3 x ¼ + ¼ 1 = 3 x ¼ + 3 x ^1/16 + ^1/16 1 = 3 x ¼ + 3 x ^1/16 + 3 x ^1/64 + ^1/64 1 = …

Voir Identités utiles

Valeurs

En mauve, le cycle des nombres périodiques

Voir Nombres cycliques

Cas de 1/10 …

Cas où x = 1/10

	= 1 /10 + 1/100 + 1/1 000 + 1/ 10 000 + … = 0, 1 1 1 1 …	= 1 / 9
	Multiplications 0,2222 … 0,3333 …	= 2 / 9 = 3 / 9

Cas où x = 1/100

	= 1 /100 + 1/10 000 + … = 0, 10 10 10 …	= 1 / 99
	Multiplications 0,2020 … 0,3030 … 0,3535 …	= 20 / 99 = 30 / 99 = 35 / 99

Cas où x = 1/1000

	= 1 /1 000 + 1/1 000 000 + … = 0, 100 100 …	= 1 / 999
	Multiplications 0,200200 … 0,300300 … 0,305305 … 0,375375 …	= 200 / 999 = 300 / 999 = 305 / 999 = 375 / 999

Curiosité: Chassé-croisé de nombres

Merci à Frédéric D. pour ses remarques

Somme des inverses des puissances d'un nombre
En prenant: x = 1 / a

Suite convergence en Formes en xⁿ / xⁿ⁺¹

Développement: formules générales avec x < 1

Voir Identités remarquables

Suite	Somme qui fou et encore plus fou Voir en-tête pour autres suites Spectre numérique d'un nombre
Voir	Achille et la tortue Énigmes en séquence Fractals Fractions égyptiennes Géométrie – Index Jeux – Index Séquences numériques Série 1 + 2x + 3x² + ... Somme des entiers, des inverses… Somme des entiers, des inverses… Suite de la copie augmentée Suite des inverses des premiers Suite qui rend fou Suites fractales Théorie des nombres – Index Triangle de Leibniz
Diconombre	1 / 1/2 / 1/3 / 1/4 / 1/9
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