NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 04/06/2014

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Diviseurs

 

Débutants

Nombres parfaits

Nombres parfaits

 

Glossaire

Diviseurs

 

 

INDEX

 

Décomposition

Diviseurs

 

Parfait

Programmation

Démonstration

Liste

 

Sommaire de cette page

>>> En bref

>>> Formule d'Euclide

>>> Démonstration – directe

>>> Démonstration – réciproque

 

Détails

>>> Diviseurs des puissances de 2

>>> Forme en puissance de 2

>>> Cas composé

  

 

 

 

Nombres parfaits:

FORMULE D'EUCLIDE

 

Démonstration d'une belle très formule et de sa réciproque.

 

 

En bref

 

 

 

Proposition directe: démonstration par Euclide, il y a 2300 ans.

Proposition réciproque: démonstration par Euler en 1849.

 

Si on connaît un nombre de Mersenne premier 2k – 1,

On connaît un nombre parfait beaucoup plus grand  2k – 1 (2k – 1)

 

Voir Les plus grands nombres de Mersenne connus

 

FORMULE D'EUCLIDE

 

Formule d'Euclide: Théorème

 

 

Si (2k – 1) est premier, alors N = 2k – 1 (2k – 1) est parfait.

 

 

Conclusions

2k – 1

*    Avec une puissance de 2 en tête, le nombre N est pair.

*    On ne sait toujours pas s'il existe des nombres parfaits impairs

M = 2k – 1

*    Nombre de Mersenne, avec ses propriétés.

*    Si k = 1, ce facteur serait égal à 1 et, il ne serait pas premier.
Donc k
 2

M premier

*    Nombre de Mersenne premier, alors k est, lui aussi, premier.

M composé

*    Dans ce cas, le nombre N n'est jamais parfait.

*    Il est toujours abondant.

*    Si d est l'un des diviseurs, la somme des diviseurs de N est supérieure à 2n + d

 

 

Démonstration "directe"

 

Ce qu'il faut démontrer (CQFD)

 

Principe

 

N =

2k-1

  . p (premier)

*      Diviseurs de N

= ceux de 2k-1

+ les précédents multipliés par p

*      Somme des diviseurs

(n) = 2n

Constater ce fait

 

 

Démonstration

 

Posons le problème

 

 

*      Soit p un nombre premier de la forme:

p

= 2k – 1

*      Prenons n tel que:

n

= 2k – 1 . p

*      Il faut démontrer que la somme des diviseurs est égale à deux fois le nombre n.

 (n)

= 2n

*      Notons tout de suite que:

2n

= 2 . 2k-1 . p

= 2k . p

Les diviseurs de n sont:

 

 

*      D'abord, ceux du premier facteur: une puissance de 2

2k – 1

1, 2, 2², …, 2k-1

*      Et, ceux de p

 

1, p

*      Et, enfin ceux du produit, avec p premier

p, 2.p, …, 2k-1 .p

*      Prenons tous les diviseurs distincts deux à deux

Diviseurs de n

1, 2, 2², …, 2k-1 ,

p, 2.p, …, 2k-1 .p

Somme des diviseurs

 

 

*      Somme

 (n)

= 1 + 2 + 2² + …+ 2k-1

+ p + 2.p + … + 2k-1 .p

*      Remarquons la mise en facteurs

 (n)

= (1 + 2 + 2² + …+ 2k-1) (1 + p)

*      On utilise cette notation, car une variante de la démonstration passe par cette formulation

 

 

=  (2k – 1) .  (p)

Évaluons les termes

 

 

*      La somme des puissances de 2

est égale à la puissance supérieure

moins1

 (2k-1)

= (1 + 2 + 2² + …+ 2k-1)

= 2k – 1 + 1 – 1

= 2k – 1

*      Et, pour l'autre facteur, en remplaçant p par sa valeur initiale.

 (p)

= 1 + p

= 1 + 2k – 1

= 2k

Bilan

 

 

*      En remarquant l'apparition de l'expression de n

 (n)

= (2k1) .    2k

= 2 . 2k – 1  (2k – 1)

Et CQFD

 (n)

= 2 . n

 

 

Démonstration "réciproque"

 

Ce qu'il faut démontrer (CQFD)

 

 

 

Principe

 

1.   Tout entier naturel est de la forme:

n = 2k – 1 . m

2.   On cherche à exprimer la somme des diviseurs:

 (n) = (2k – 1) .  (m)

3.   Que l'on compare à celle connue, car n est parfait.

 (n) = 2.n

4.   On a deux évaluations de la somme; l'égalité va être exploitée.

5.   On connait trois diviseurs.

1, M et m

6.   Un raisonnement par l'absurde nous amène à constater que M = 1: il doublonne, il faut l'éliminer.

1, m

7.   et à conserver un nombre premier de la forme cherchée

m = (2k – 1)

 

 

Posons le problème

 

 

*      On peut écrire n sous la forme

avec

et, n étant pair (hypothèse)

n

m

k

= 2k – 1 . m

Impair

 2

Diviseurs de n

 

 

*Les diviseurs de n sont ceux du terme en puissance de 2 et ceux du nombre impair.
Ces diviseurs sont premiers entre eux, donc distincts.

=>

=>

2, 2a, 2b, …

3, 5, 7 ou autres

mais jamais 2

 

Somme des diviseurs de n

 

 

*      La somme des diviseurs d'un produit est égale au produit des sommes des diviseurs des facteurs à conditions que ceux ci soient premiers entre eux.

n

 

 (n)

= 2k – 1 . m

 

= s(2k – 1) . s(m)

 

*      La somme des diviseurs d'une puissance de deux

 (2k-1)

= (2k – 1)

*      Soit pour n

 (n)

= (2k – 1) . s(m)

Somme des diviseurs du nombre parfait n

 

 

*      Par hypothèse n est parfait

 (n)

= 2 . n

 

*      et en remplaçant n par sa valeur

 (n)

= 2 . 2k – 1 . m

= 2k . m

*      En égalisant les deux formulations pour  (n)

2k . m

(2k - 1) . s(m)

Divisibilité

 

 

*      Reprenons notre résultat

 (m)

= 2k . m / (2k - 1)

Or, les termes en puissance de 2 sont premiers entre eux

(2k – 1)

ne divise pas 2k

Donc, c'est m qui est divisible

m / (2k – 1)

= M entier

Voilà un nouveau diviseur

de m

donc de n

On connaît des diviseurs de m

 

 

*      Il y en a au moins trois candidats connus

 

1, M et m

*      Leur somme

s 

= 1 + M + m

*      En développant,

 

 

*      On aboutit à une contradiction

s

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 + s

Contradiction et conséquences

 

 

*      Cette égalité nous impose de revoir la liste des candidats diviseurs

 

1, M et m

Il y en a deux qui sont incontournables:

 

1 & m qui est premier

Seul le troisième permet de lever la contradiction si on le pose égal à 1

M = 1 et 1 sont des doublons

Un seul des deux est conservé

 

M

 

= 1

On en déduit la valeur de m

m

= (2k – 1)

Or, hypothèse:

n

= 2k – 1 . m

Conclusion

 

 

*      Si n est un nombre parfait pair, il est bien de la forme
avec

 

n

 

= 2k – 1  . (2k – 1)

(2k – 1) premier

 

 

DIVISEURS DES PUISSANCES DE 2

 

Observation



Théorème

 

 

 (2n)   =   2n + 1 – 1

 

 

Exemple pour n = 3:   (23) =   (8) = 24 – 1 = 16 – 1 = 15.

 

 

 

Voir Puissance de 2 / Multipuissances

 

 

FORME EN PUISSANCE DE 2

*    Tout entier naturel N est de la forme: une puissance de deux (même nulle) multipliée par un impair.

n = 2a . u

u impair

S'il est impair :

n = 20 . u

a = 0

S'il est pair, on toujours sortir ce qu'il a de pair.

n = 2a . u

a  1

 

 

 

Cas d'un nombre composé

*    Soit le nombre n de la forme

avec c composé, impair

n

= 2k – 1  (2k – 1)

= 2k – 1  . c

Les diviseurs de n sont, au moins

 

 

*    D'abord, ceux du premier facteur: une puissance de 2

2k – 1 =>

1, 2, 2², …, 2k-1

*    Ceux du produit

=>

c, 2.c, …, 2k-1 .c

*    Ils sont distincts deux à deux (c est impair)

 

 

*    Leur somme, comme calculé ci-dessus,   est égale à

s(n)

= 2 . n

Mais n est composé

 

 

*    Il  faut ajouter à la liste des diviseurs tous les diviseurs d de c

=>

au moins un d

*    Somme

s(n)

³ 2 . n + d

*    Supérieur à deux fois lui-même, il est

 

Abondant

 

 

 

 

Suite

*    Programmation de la recherche des parfaits

*    Liste des nombres parfaits

*    Calculs avec les parfaits (Frénicle et Fermat)

*    Voir haut de page

Voir

*    Calcul mentalIndex

*    Nombres bons

*    Nombres de Mersenne

*    Tables abondants / déficients

*    Théorie des nombresIndex

*    Types de nombres selon leurs diviseurs

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Parfdemo.htm