NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 04/06/2014 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Diviseurs
Débutants Nombres parfaits	Nombres parfaits			Glossaire Diviseurs
INDEX Décomposition Diviseurs	Parfait	Programmation	Démonstration	Liste
		Sommaire de cette page >>> En bref >>> Formule d'Euclide >>> Démonstration – directe >>> Démonstration – réciproque Détails >>> Diviseurs des puissances de 2 >>> Forme en puissance de 2 >>> Cas composé

Nombres parfaits:

FORMULE D'EUCLIDE

Démonstration d'une belle très formule et de sa réciproque.

En bref
Proposition directe: démonstration par Euclide, il y a 2300 ans. Proposition réciproque: démonstration par Euler en 1849. Si on connaît un nombre de Mersenne premier 2k – 1, On connaît un nombre parfait beaucoup plus grand 2^k – 1 (2^k – 1)

Voir Les plus grands nombres de Mersenne connus

FORMULE D'EUCLIDE
Formule d'Euclide: Théorème Si (2^k– 1) est premier, alors N = 2^k – 1 (2^k – 1) est parfait. Conclusions
2^k – 1	Avec une puissance de 2 en tête, le nombre N est pair. On ne sait toujours pas s'il existe des nombres parfaits impairs
M = 2^k – 1	Nombre de Mersenne, avec ses propriétés. Si k = 1, ce facteur serait égal à 1 et, il ne serait pas premier. Donc k 2
M premier	Nombre de Mersenne premier, alors k est, lui aussi, premier.
M composé	Dans ce cas, le nombre N n'est jamais parfait. Il est toujours abondant. Si d est l'un des diviseurs, la somme des diviseurs de N est supérieure à 2n + d

Démonstration "directe"
Ce qu'il faut démontrer (CQFD) Principe
N =	2^k-1	. p (premier)
Diviseurs de N	= ceux de 2^k-1	+ les précédents multipliés par p
Somme des diviseurs	(n) = 2n	Constater ce fait
Démonstration
Posons le problème
Soit p un nombre premier de la forme:	p	= 2^k– 1
Prenons n tel que:	n	= 2^k – 1 . p
Il faut démontrer que la somme des diviseurs est égale à deux fois le nombre n.	(n)	= 2n
Notons tout de suite que:	2n	= 2 . 2^k-1 . p = 2^k . p
Les diviseurs de n sont:
D'abord, ceux du premier facteur: une puissance de 2	2^k – 1	1, 2, 2², …, 2^k-1
Et, ceux de p		1, p
Et, enfin ceux du produit, avec p premier		p, 2.p, …, 2^k-1 .p
Prenons tous les diviseurs distincts deux à deux	Diviseurs de n	1, 2, 2², …, 2^k-1 , p, 2.p, …, 2^k-1 .p
Somme des diviseurs
Somme	(n)	= 1 + 2 + 2² + …+ 2^k-1 + p + 2.p + … + 2^k-1 .p
Remarquons la mise en facteurs	(n)	= (1 + 2 + 2² + …+ 2^k-1) (1 + p)
On utilise cette notation, car une variante de la démonstration passe par cette formulation		= (2^k – 1) . (p)
Évaluons les termes
La somme des puissances de 2 est égale à la puissance supérieure moins1	(2^k-1)	= (1 + 2 + 2² + …+ 2^k-1) = 2^k – 1 + 1 – 1 = 2^k – 1
Et, pour l'autre facteur, en remplaçant p par sa valeur initiale.	(p)	= 1 + p = 1 + 2^k– 1 = 2^k
Bilan
En remarquant l'apparition de l'expression de n	(n)	= (2^k – 1) . 2^k = 2 . 2^k – 1(2^k – 1)
Et CQFD	(n)	= 2 . n

Démonstration "réciproque"
Ce qu'il faut démontrer (CQFD) Principe
1. Tout entier naturel est de la forme:		n = 2^k – 1 . m
2. On cherche à exprimer la somme des diviseurs:		(n) = (2^k – 1) . (m)
3. Que l'on compare à celle connue, car n est parfait.		(n) = 2.n
4. On a deux évaluations de la somme; l'égalité va être exploitée.
5. On connait trois diviseurs.		1, M et m
6. Un raisonnement par l'absurde nous amène à constater que M = 1: il doublonne, il faut l'éliminer.		1, m
7. et à conserver un nombre premier de la forme cherchée		m = (2^k – 1)
Posons le problème
On peut écrire n sous la forme avec et, n étant pair (hypothèse)	n m k	= 2^k – 1 . m Impair 2
Diviseurs de n
Les diviseurs de n sont ceux du terme en puissance de 2 et ceux du nombre impair. Ces diviseurs sont premiers entre eux, donc distincts.	=> =>	2, 2^a, 2^b, … 3, 5, 7 ou autres mais jamais 2
Somme des diviseurs de n
La somme des diviseurs d'un produit est égale au produit des sommes des diviseurs des facteurs à conditions que ceux ci soient premiers entre eux.	n (n)	= 2^k – 1 . m = s(2^k – 1) . s(m)
La somme des diviseurs d'une puissance de deux	(2^k-1)	= (2^k – 1)
Soit pour n	(n)	= (2^k – 1) . s(m)
Somme des diviseurs du nombre parfait n
Par hypothèse n est parfait	(n)	= 2 . n
et en remplaçant n par sa valeur	(n)	= 2 . 2^k – 1 . m = 2^k. m
En égalisant les deux formulations pour (n)	2^k. m	(2^k - 1) . s(m)
Divisibilité
Reprenons notre résultat	(m)	= 2^k. m / (2^k - 1)
Or, les termes en puissance de 2 sont premiers entre eux	(2^k – 1)	ne divise pas 2^k
Donc, c'est m qui est divisible	m / (2^k – 1)	= M entier
Voilà un nouveau diviseur	de m	donc de n
On connaît des diviseurs de m
Il y en a au moins trois candidats connus		1, M et m
Leur somme	s	= 1 + M + m
En développant, On aboutit à une contradiction	s	= 1 + s
Contradiction et conséquences
Cette égalité nous impose de revoir la liste des candidats diviseurs		1, M et m
Il y en a deux qui sont incontournables:		1 & m qui est premier
Seul le troisième permet de lever la contradiction si on le pose égal à 1 M = 1 et 1 sont des doublons Un seul des deux est conservé	M	= 1
On en déduit la valeur de m	m	= (2^k – 1)
Or, hypothèse:	n	= 2^k – 1 . m
Conclusion
Si n est un nombre parfait pair, il est bien de la forme avec	n	= 2^k – 1 . (2^k – 1) (2^k – 1) premier

DIVISEURS DES PUISSANCES DE 2
Observation Théorème (2^n) = 2^n + 1 – 1 Exemple pour n = 3: (2^3) = (8) = 2^4 – 1 = 16 – 1 = 15.

Voir Puissance de 2 / Multipuissances

FORME EN PUISSANCE DE 2
Tout entier naturel N est de la forme: une puissance de deux (même nulle) multipliée par un impair.	n = 2^a . u	u impair
S'il est impair :	n = 2^0 . u	a = 0
S'il est pair, on toujours sortir ce qu'il a de pair.	n = 2^a . u	a 1

Cas d'un nombre composé
Soit le nombre n de la forme avec c composé, impair	n	= 2^k – 1 (2^k – 1) = 2^k – 1 . c
Les diviseurs de n sont, au moins
D'abord, ceux du premier facteur: une puissance de 2	2^k – 1=>	1, 2, 2², …, 2^k-1
Ceux du produit	=>	c, 2.c, …, 2^k-1 .c
Ils sont distincts deux à deux (c est impair)
Leur somme, comme calculé ci-dessus, est égale à	s(n)	= 2 . n
Mais n est composé
Il faut ajouter à la liste des diviseurs tous les diviseurs d de c	=>	au moins un d
Somme	s(n)	³ 2 . n + d
Supérieur à deux fois lui-même, il est		Abondant

Suite	Programmation de la recherche des parfaits Liste des nombres parfaits Calculs avec les parfaits (Frénicle et Fermat) Voir haut de page
Voir	Calcul mental – Index Nombres bons Nombres de Mersenne Tables abondants / déficients Théorie des nombres – Index Types de nombres selon leurs diviseurs
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Parfdemo.htm