NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/04/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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Retour NOMBRE 78 557

Nombres de PROTH

et Nombres de SIERPINSKI

Les nombres en N = k . 2ⁿ + 1, formés avec des puissances de 2, sont les nombres de Proth.

Certains de ces nombres ne sont jamais premiers quelle que soit la valeur de n.

Le facteur k de tels nombres est un nombre de Sierpinski. Le plus petit connu est k = 78 557.

Approche – Exploration des nombres

Prenons les puissances de 2 multipliées par un nombre k et ajoutons 1:

N = k . 2ⁿ + 1

Indiquons si ces nombres sont premiers.

Tableau central =>

Nous constatons que pour chaque valeur de k, il existe rapidement une valeur de n donnant un nombre N premier.

Tableau de droite =>

Pour chaque k, notons la première valeur de n qui donne N premier.

Pour tous les k successifs, il y a, semble-t-il, un N premier.

Et, jusqu'à présent, la valeur de n reste faible .

et, pourtant…curieusement

Il existe des nombres k pour lesquelles le nombre N ne sera jamais premier

Il y en a même une infinité.

Les valeurs de k sont les nombres de Sierpinki.

Toutes les valeurs

k	n	N = k . 2^n + 1
1	1	3	Premier
1	2	5	Premier
1	3	9
1	4	17	Premier
1	5	33
1	6	65
1	7	129
1	8	257	Premier
1	9	513
1	10	1025
2	1	5	Premier
2	2	9
2	3	17	Premier
2	4	33
2	5	65
2	6	129
2	7	257	Premier
2	8	513
2	9	1025
2	10	2049
3	1	7	Premier
3	2	13	Premier
3	3	25
3	4	49
3	5	97	Premier
3	6	193	Premier
3	7	385
3	8	769	Premier
3	9	1537
3	10	3073
4	1	9
4	2	17	Premier
4	3	33
4	4	65
4	5	129
4	6	257	Premier
4	7	513
4	8	1025
4	9	2049
4	10	4097
5	1	11	Premier
5	2	21
5	3	41	Premier
5	4	81
5	5	161
5	6	321
5	7	641	Premier
5	8	1281
5	9	2561
5	10	5121

Un représentant

pour k donné

k	n	N = k . 2^n + 1
1	2	5
2	3	17
3	2	13
4	2	17
5	3	41
6	4	97
7	2	29
8	5	257
9	2	37
10	2	41
11	3	89
12	3	97
13	2	53
14	3	113
15	2	61
16	4	257
17	3	137
18	2	73
19	6	1217
20	5	641
21	4	337
22	2	89
23	9	11777
24	2	97
25	2	101
26	7	3329
27	2	109
28	2	113
29	3	233
30	3	241
31	8	7937
32	3	257
33	6	2113
34	2	137
35	3	281
36	4	577
37	2	149
38	5	1217
39	2	157
40	4	641

Théorème de Proth		haut
Nombre de Proth Nombres de la forme: C = k . 2^n + 1 Avec 0 < kimpair < 2^n	Liste 3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, …
Théorème de Proth (1878) Un nombre de Proth p est premier s'il existe un entier a tel que:	Exemples p = 5 => 3^(5-1)/2 = 3² = 9 ≡ - 1 mod 5, alors 5 est premier. p = 13 => 5^(13-1)/2 = 5^6 = 15 625 ≡ - 1 mod 13, alors 13 est premier.
François Proth (1852-1879)

Croissance de n

Cette fois, nous allons noter la valeur de n record.

C'est-à-dire celle qui dépasse une valeur déjà obtenue.

Ce tableau montre que la valeur de n croit finalement très rapidement.

Et surtout, il donne une idée des calculs monstrueux à effectuer pour détecter un nombre de Sierpinski.

k	n	N = k . 2^n + 1
1	2	5
2	3	17
6	4	97
8	5	257
19	6	1217
23	9	11777
41	11	83969
47	583	0,14879… 10^178
383	6393	0,11694… 10^1928

Nombre de SIERPINSKI
Définition Nombre k impair tel que N = k . 2^n + 1 n'est jamais premier. Théorème de Sierpinski (1960) Il existe une infinité d'entiers impairs k pour lesquels k . 2n + 1 n'est jamais premier, quel que soit l'entier n supérieur à 1. There exist infinitely many odd integers k such that k.2n + 1 is composite for every n > 1	Le plus petit nombre de Sierpinski 78 557 . 2^n + 1 n'est jamais premier. Le plus petit connu. Découvert par John Selfridge en 1962. qui conjecture que c'est le plus petit 78 557 = 17 x 4 621 Exemples de calculs 78 557 . 2^0 + 1 est divisible par 3 78 557 . 2^1 + 1 est divisible par 5, vrai pour n = {1, 5, 9, 13 …} 78 557 . 2^2 + 1 est divisible par 3, vrai pour n pair 78 557 . 2^3 + 1 est divisible par 73, vrai pour 3, puis 12, 21, 30 … Etc. Le deuxième plus petit nombre de Sierpinski 271 129 . 2^n + 1 n'est jamais premier. Le deuxième plus petit connu. 271 129 est premier, sans doute le plus petit Sierpinski premier
Liste de nombres k de Sierpinski 78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, 3083723, 3098059, 3555593, 3608251 … Liste sans doute complète jusqu'à 3 000 000 (conjecture).
Propriétés – Florian Luca (2008) Il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui sont des nombres de Riesel. Il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui sont des nombres de Sierpinski. There are infinitely many Fibonacci numbers which are Riesel numbers. We also show that there are infinitely many Fibonacci numbers which are Sierpiński numbers.
Nombres de Brier = Nombre Siepinski et Riesel à la fois 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, …

Recherches – Sierpinski = Proth jamais premier
Recherche du plus petit Pour savoir s'il existe un nombre de Sierpinski plus petit que 78 557, il faut tester tous les nombres inférieurs et chercher un contre-exemple: pour k donné, trouver un n qui engendre un nombre premier En 2002, il ne restait plus que les 17 nombres suivants à tester: 4847, 5359, 10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 28433, 33661, 44131, 46157, 54767, 55459, 65567, 67607 et 69109 En 2016, il en reste 5 inconnus: 10223, 21181, 22699, 24737, 55459, 67607. En novembre 2016: 10 223 . 2^31172165 + 1 s'est placé dans le top ten des plus grand premiers connus. En fin 2018, il reste quatre nombres: 21181, 22699, 24737, 55459, 67607. Pour le deuxième Sierpinski: 271 129, en avril 2018: Avec 193 997 . 2^11452891 + 1 découvert comme premier, il reste neuf nombres à tester dont deux communs avec le plus petit: 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019	Recherche des nombres de Sierpinski Exemple avec k = 12 909, il y a 81 nombres premiers jusqu'à n = 53 118. Programme de recherche La puissance de calcul à mettre en œuvre est phénoménale. Durant l'année 2002, deux chercheurs américains lance un programme de mise en commun des ressources des PC des particuliers. Chacun mouline avec le même type de programme. De cette façon, les nombres surlignés de brun ont déjà été éliminé comme étant non-Sierpinski. En décembre 2002, le Belge Peter Coels trouve en particulier que 54 767 . 2 ^1 337 827+ 1 est premier Nombre de 402 569 chiffres Et, incidemment, ce nombre est parmi les plus grands premiers connus en fin 2002 il était le 7e lors de sa découverte il est passé 8e en 2003

SIERPINSKI Waclaw	1882 – 1969 87 ans		Polonais
Mathématicien polonais Théorie des nombres Théorie des ensembles Topologie		Nombres de Sierpinski Fractales de Sierpinski
Père médecin. 1899: Département de Mathématiques et de Physique de l'université de Varsovie (en langue russe). 1904: Professeur de mathématiques et physiques. 1905 à 1908: Doctorat à l'université de Cracovie. 1908: Doctorat et professeur à l'Université de Lvov. Il publie énormément: 724 articles et 50 livres. Il subit la guerre mondiale en Russie. 1916: il trouve le premier exemple de nombres normaux absolus (même fréquence des chiffres quelle que soit la base). 1919: professeur à Varsovie. Il passe le reste de sa vie à Varsovie. Il publie énormément: 724 articles et 50 livres. Il reçoit d'innombrables récompenses et honneurs.
Short story Waclaw Sierpinski, a first-rate Polish number cruncher, once thought he had lost one of six pieces of luggage after counting them several times: zero, one, two, three, four, five.

Voir Contemporains

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Voir	Waclaw Sierpinski – MacTutor - Biographie Nombre de Sierpinski – Wikipédia OEIS A076336 – Sierpiński numbers OEIS A076335 – Brier numbers: numbers that are both Riesel and Sierpiński Sierpinski number – The Prime Glossary The Sierpiński Problem: Definition and Status Compiled by Wilfrid Keller – 2018 Sierpinski number – Revolvy Website Infinité de Fibonacci qui sont Sierpinski** – Florian Luca - 2008
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