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22 Novembre
2025
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Retour NOMBRE 78 557
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Nombres de PROTH et Nombres de SIERPINSKI Les nombres en N = k .
2n + 1, formés avec des puissances de 2,
sont les nombres
de Proth. Certains de ces
nombres ne sont jamais premiers quelle
que soit la valeur de n. Le facteur k de tels
nombres est un nombre de Sierpinski. Le plus petit connu est k
= 78 557. |
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Prenons les puissances de 2 multipliées par un
nombre k et ajoutons 1: N = k . 2n + 1 Indiquons si ces nombres sont premiers. Tableau central => Nous constatons que pour chaque valeur de k, il
existe rapidement une valeur de n donnant un nombre N premier. Tableau de droite => Pour chaque k, notons la première valeur de n qui donne N
premier. Pour tous les k successifs, il y a,
semble-t-il, un N premier. Et, jusqu'à présent, la valeur de n reste faible . et, pourtant…curieusement Il existe des nombres k pour lesquelles le
nombre N ne sera jamais premier Il y en a même une infinité. Les valeurs de k sont les nombres de Sierpinki. |
Toutes les valeurs
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Un représentant pour k donné
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Nombre de Proth Nombres
de la forme: C = k . 2n + 1 Avec 0 < kimpair
< 2n |
Liste 3, 5, 9, 13,
17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, … |
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Théorème de Proth
(1878) Un nombre de
Proth p est premier s'il
existe un entier a tel que:
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Exemples p = 5 => 3(5-1)/2 = 3² = 9 ≡ - 1 mod 5, alors 5 est
premier. p = 13 =>
5(13-1)/2 = 56 = 15
625 ≡ - 1 mod 13, alors 13 est premier. |
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François Proth (1852-1879) |
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Cette fois, nous allons noter la valeur de n
record. C'est-à-dire celle qui dépasse une valeur déjà
obtenue. Ce tableau montre que la valeur de n croit
finalement très rapidement. Et surtout, il donne une idée des calculs
monstrueux à effectuer pour détecter un nombre de Sierpinski. |
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Définition Nombre k impair tel que N = k
. 2n + 1 n'est jamais premier. Théorème
de Sierpinski (1960) Il existe une infinité d'entiers impairs k pour lesquels k .
2n + 1 n'est jamais premier, quel que soit l'entier n supérieur à
1. There exist infinitely many
odd integers k such that k.2n + 1 is composite for every n
> 1 |
Le
plus petit nombre de Sierpinski 78 557 . 2n + 1
n'est jamais premier. Le plus
petit connu. Découvert
par John Selfridge en 1962. qui
conjecture que c'est le plus petit 78 557 =
17 x 4 621 Exemples
de calculs 78 557 . 20 + 1 est divisible
par 3 78 557 . 21 + 1 est divisible par 5, 78 557 . 22 + 1 est divisible par 3, 78 557 . 23 + 1 est divisible par 73, vrai pour
3, puis 12, 21, 30 … Etc. Le
deuxième plus petit nombre de Sierpinski 271 129 . 2n +
1 n'est jamais premier. Le
deuxième plus petit connu. 271 129
est premier, sans doute le plus petit Sierpinski premier |
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Liste
de nombres k de
Sierpinski 78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719,
575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097,
1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089,
2931767, 2931991, 3083723, 3098059, 3555593, 3608251 … Liste sans doute complète jusqu'à 3 000 000
(conjecture). |
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Propriétés
– Florian Luca (2008) Il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui
sont des nombres de Riesel. Il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui
sont des nombres de Sierpinski. There are infinitely many Fibonacci numbers which are Riesel numbers.
We also show that there are infinitely many Fibonacci numbers which are Sierpiński numbers. |
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Nombres
de Brier = Nombre Siepinski et
Riesel à la fois 3316923598096294713661, 10439679896374780276373,
11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, … |
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Recherche
du plus petit Pour savoir s'il existe un nombre de Sierpinski
plus petit que 78 557, il faut tester tous les nombres inférieurs et chercher
un contre-exemple: pour k
donné, trouver un n qui engendre un nombre premier En 2002, il ne restait plus que les 17 nombres
suivants à tester: 4847, 5359,
10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 28433,
33661, 44131, 46157,
54767, 55459, 65567, 67607 et 69109 En 2016, il en reste 5 inconnus: 10223, 21181, 22699, 24737, 55459, 67607. En novembre 2016: 10 223 . 231172165 + 1 s'est placé dans le top ten
des plus grand premiers connus. En fin 2018, il reste quatre nombres: 21181, 22699, 24737, 55459, 67607. Pour le deuxième Sierpinski:
271 129, en avril 2018: Avec 193 997 .
211452891 + 1 découvert comme premier, il reste neuf nombres à
tester dont deux communs avec le plus petit: 22699, 67607, 79309,
79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019 |
Recherche
des nombres de Sierpinski Exemple avec k = 12 909, il y a 81 nombres premiers
jusqu'à n = 53 118. Programme
de recherche La puissance de calcul à mettre en œuvre est
phénoménale. Durant l'année 2002, deux chercheurs américains
lance un programme de mise en commun des ressources des PC des particuliers.
Chacun mouline avec le même type de programme. De cette façon, les nombres surlignés de brun ont
déjà été éliminé comme étant non-Sierpinski. En décembre 2002, le Belge Peter Coels trouve en
particulier que 54 767 . 2 1 337 827 +
1 est premier Nombre de 402 569 chiffres Et,
incidemment, ce nombre est parmi les plus grands premiers
connus en fin 2002 il était
le 7e lors de sa découverte il est
passé 8e en 2003 |
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Waclaw |
1882 – 1969 87 ans |
Polonais |
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Mathématicien polonais
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Père médecin. 1899: Département de Mathématiques et de Physique de
l'université de Varsovie (en langue russe).
1905 à 1908: Doctorat à
l'université de Cracovie. 1908: Doctorat et professeur à l'Université de Lvov. Il publie énormément: 724
articles et 50 livres. Il subit la guerre mondiale en Russie. 1916: il trouve le premier exemple de nombres normaux absolus 1919: professeur à Varsovie. Il passe le reste de sa vie à Varsovie. Il publie énormément: 724
articles et 50 livres. Il reçoit d'innombrables récompenses et honneurs. |
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Short story Waclaw Sierpinski, a
first-rate Polish number cruncher, once thought he had lost one of six pieces
of luggage after counting them several times: zero, one, two, three, four,
five. |
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