Accueil Orientation générale Barre de recherche

DicoNombre DicoMot Math DicoCulture

Atlas des maths Rubriques Index alphabétique

Nouveautés Actualités Références

Édition du: 23/02/2020 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Puissances de 2 Puissances des nombres Types de nombres	Puissances de 2
	Approche	Propriétés	Valeurs	Avec premiers

Puissances de 2 en relation avec les nombres premiers Pour un nombre premier p, étude d'une relation particulière avec la puissance p de deux, associée avec tous les nombres premiers jusqu'à p (primorielle). Exemple avec p = 3: (2^3 – 3) x 3 x 2 x 1 – 1 = 29 et 29 est un nombre premier.
	Sommaire de cette page >>> Relation étudiée (R) >>> Table pour R premier >>> Bilan	Débutants Nombres Glossaire Nombres Puissances

Relation: R = (2^p –p) p# – 1 (ou +1)

haut

p étant un nombre premier,

E = puissance p de 2

moins p

le tout multiplié par

la primorielle de p (p#).

On cherche si

R – 1 ou R + 1

sont des nombres premiers.

Le tableau montre que cela est vrai jusqu'à p = 7 pour les deux.

En revanche seul le cas positif (+1) est premier pour p = 11.

p	R		Valeur
2		=	3
2		=	5
3		=	29
3		=	31
5		=	809
5		=	811
7		=	25 409
7		=	25 411
11		=	4 705 471

Autre écriture de la formule: (2^Prime-Prime)*AllPrimesToPrime(+1;-1)=newPrime

(2^p-p)xpx(p-1)x…x2x1-1 = P o u (2^p-p)xpx(p-1)x…x2x1+1 = P

Table pour R premier

haut

Signe	p	R (valeur)	Quantité de chiffres =>	Q
Moins	2	3		1
Plus	2	5		1
Moins	3	29		2
Plus	3	31		2
Moins	5	809		3
Plus	5	811		3
Moins	7	25409		5
Plus	7	25411		5
Plus	11	4705471		7
Moins	13	245615369		7
Plus	17	66904888051		11
Moins	43	115077185660152834109256214949		30
Moins	101	59037623189922766538405777679281533303121750244000 9679955145572058569		69
Moins	167	18014070170485892682210099969688206621060188161426 15037628629962275918493881552500121293617790832066 97225537401856469		117
Plus	373	87293455808249322457610074531453964250291002816429 29341231269462222219632877741732715380385703059047 11726329191703594029124469911838374513593508784848 72830079363465317868289624541427714303763469931073 57030608236534232344561208361231571638592190426301 9350348331711		263
Plus	383	21319050349958479657712895625581256464865943038916 71285820179388710207844568336608740576678491258039 35212176748379571864842726675785224008542411096014 79891400248585182948492595731725076263485948741501 9253174378890372993251		272
Plus	691	28531543121798796800294312912589351924033663837113 36022129849972585861206249723237636972306256252023 50181246339695511721160201988369153960938268955908 63798691034599705290985779436075485888404778964713 91453482417288944024816651042988169219670048939241 26656512435103226754102457217134018781854117085767 49330190897199883178888831950527626328290066412962 22719990305868808239661742959456832762953359792385 37712800734712745560504107876194788931663022983883 150085434246667846868710685153595105801633879511		498
Moins	1847	59038766514178877026336729511882005900544703359647 23644249183054802631904618841538166835772862241708 91514670763373431967653623644080119966607872609309 10773588887182363844134270921640620765232139669366 15325835034165740974080294693084585494433212108672 62090436140575391065564153778697212736459026448593 40074446371461426696551584602046233399453654571680 40123934382350267128836530348303712517793583125276 32241744419678269634469342581564500720752323453851 04165473243091637392803113662577877067355610446645 70588463253941101325586014454141454967658223914784 11872736458312981448249710855559910027022212786180 12817785030181334735911286182357559581613903469479 85189846806971813818143578990352605181702355746511 76301025592009482143111267575891681295503944701485 67044554212331069081769176433353238182863652063920 17938501440116427873522556463086439947980267320230 52100099611941701696099657331003604423459065923263 86519199598644593446153278500972855179834144474702 56284537253047732997552183154389680384274924064447 62196135208024080662620190752387821706123809483764 03920594071165371830657874435575590846034752116379 38056822709790579417619726552957480643341045164962 86144147367472144299965223154495181173135188213684 78944803476393928607779918037655944110921609504152 96363769503387817789140087549880287812599489419320 542729091763355583541577995711729		1333
Moins	1871	64390478106979451832614539434556884538451165466224 59306798408093807420778699036908273924241212171934 09575280849511023560012021332524905814876590200978 20166795583089527283241407332115658213881775119569 28291646224485004782927891183522124320609948580477 86889976813173514842562331891774991942246879501110 81615134136167638638609207075981753449813611647488 16482568056101928115734971670542190228934379845741 37512108366043357910495365830311512537172328461738 05991845614538152528353467589593630618585250124258 17865943725969304055734543372593114038128973103301 71471662336006990983972290927002331487119308126975 85498234256972295315558745096503948194800309768274 28998203645759134286978307042273228720236515368310 61446509307490023976514629290438406265745330213426 36320444488422602123945648752519894346885684489577 57366486697685151256555656960379127522815731915318 17436487963252785596775920240551174348470876918964 62347920294175267324592506905559516618900970039659 68401042666593746430356450460605350440900049458586 07934862035650987229173352892994884262979933885709 71180101503039043856590031004959444977753628143934 66796319819825383944361424952773784074290479751371 44051739905679691136907524944413678253685075501466 46883029553095343533659893860510865970316496243687 30011160204964768639040688978743267836738986131768 04875774923802508536857432573008533750604696283569		1350
Plus	2381	18004909674275772010775349963241521477377567893311 87439273047472000051499769644836192037190548172932 78366902216697400251769776439153164008598703999911 07499299653107815452799043710439385517734211663879 06585993438908169338833369759473004639707161100367 92035937595638385586610869325095236810237737032508 63836201175827703061219357279285438612481630026068 26978366770233706210565643746348682927803575045020 11682321122573325964956031219123813701801362816199 22616894827399440610573601380156655902283810174763 27838618131247608127947102278966692507616390951780 98101915268430583963802971410807090988573726366711 43553265170000965002480517737969037912286343767663 37513469223265850577273090634881964438320983404085 61212638715511084394060964029002832265023756273112 15277254230671964144984120727885164575948770399073 89982161572465159410376300457034634720191116329272 89905729636335880820351442881728857914170170587577 73600368595455824328799365627680394824682312402146 09431473483273666883372333530284736487121667669162 02203459988878975017860603008158795223309652864485 27943228016849252218301114311684146589814516640206 81087717512685535164204575834839766230905361848817 43865169641042849341272014222554338272896011506873 64184273668589219414445194914684313241101691604734 77772664287750284462751164918235601295066963928714 38579462372478309050302144938646010155971466798196 42251640283329759830347737839790780054980834650135 65926146837931991727290289781604617782892142094617 26069517647010188821856396076994944946261273172905 64100708629283447138926034260168663842784232803923 00997158561304365750860102453926642697669174968896 29218203726327382249479489591137964984265935993348 30673155556943523420129465050368527174071268904575 863072732475316794321343691		1727

Bilan

Cette relation engendre des nombres premiers jusqu'à 17, mais au-delà, il y en a bien peu. D e17 on passe à 43, laissant de côté six nombres premiers.

Liste des avec R composé avec + 1 comme – 1:

19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 379, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, …

Remarque amusante: cette liste, au moins de 19 jusqu'à 307, est proche de celle qui donne les nombres premiers somme de deux palindromes, sauf 101 et 167.

Haut de page

Retour	Valeurs des puissances de 2
Suite	Formules produisant des nombres premiers
Voir	Factorielles – Index
Site	OEIS A086472 – Primes which are sum of two palindromes
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Puiss2Pr.htm