NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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OBJETS FRACTALS

 

Débutants

Fractales

Courbe du DRAGON

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Objets fractals

 

Sommaire de cette page

>>> Définition et construction méthode 1

>>> Construction méthode 2

>>> Construction méthode 3

>>> Allure de la courbe du dragon

>>> Code binaire

>>> Propriétés

 

 

 

 

 

COURBE du DRAGON

FRACTALE du DRAGON

  

Ou courbe fractale du papier plié.

Courbe étudiée par Heighway en 1960.

 

 

 

Définition – Construction méthode 1

 

*           La courbe du dragon est obtenue par pliage d'une bande de papier et redressement à 90° des plis à 180°.

 

 

Pliage

Redressement

Notation

Jour 0

 

En parcourant la courbe, un virage est noté:

0 vers la gauche, et

1 vers la droite

Jour 1

1 pli

Gauche => 0

Jour 2

2 plis

Code => 001

Jour 3

 

23 = 8 plis

Code 001 0011

Jour n

2n plis

 

 

 

Construction méthode 2

*           Sur chaque segment, compléter pour former un triangle rectangle isocèle.

*           Alternez le sens du triangle.

 

 

 

 

Construction méthode 3

 

*           Cette méthode s'appuie les débuts de construction par la méthode 1 ou la méthode 2.

*           Elle exploite la similitude interne de la  courbe du dragon.

*           Connaissant un morceau de la courbe, il est possible de la dupliquer de la manière suivante:

*      Prendre la courbe de niveau n

*      Réduction par deux

*      Duplication de cette courbe réduite

*      Rotation de l'une de -45° (315°) et de l'autre de 225°

*      Concaténation par rapprochement des deux extrémités.

 

 

 

ALLURE de la COUBRE du DRAGON

 

 

Code binaire

 

Suite binaire des instructions

Suite des pliages de papier ou suite des actions pour construire la courge du dragon: tourner à droite 1 et tourner à gauche 0.

1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, …

 

Conversion décimale des mots binaires

1, 1

11, 3

110, 6

1101, 13

11011, 27

110110, 54

1101100, 108

11011001, 217

110110011, 435

1101100111, 871

11011001110, 1742

110110011100, 3484

1101100111001, 6969

11011001110010, 13938

110110011100100, 27876

1101100111001001, 55753

11011001110010011, 111507

110110011100100111, 223015

1101100111001001110, 446030

11011001110010011101, 892061

 

Pour l'infini: 85073618820186726036 …

  

Voir OEIS A014577

 

 

 

 

Propriétés

 

*           Si on baptise le bit de rang n du code d'un tracé du dragon par u(n), le premier rang étant 0.

 

Exemple:

Jour3:    code = 0010011,

 

On a u(0) = 0, u(1) = 0, u(2) = 1 u(3) = 0, etc.

 

Alors:

u (2n+1) = u(n)

u (4n)     = 0

u (4n+2) = 1

 

 

Exemple:

u (1999) = u (999) = u (499) = u (249) = u (124) = 0

 

 

 

 


 

Suite

*    Suite fractale de nombres

*    Index des objets fractals

*    Courbe de Koch, flocon de neige

*    Aire de la courbe de Koch (flocon de neige)

*    Papier plié

*    Feuille pliée et figures géométriques

Voir

*    Crises en maths

*    Géométrie

*    Jeux

*    Labyrinthe

*    Lunules en fractales

*    Paradoxes

*    Points

*    Sauts de grenouille

*    Symétries

DicoNombre

*    Nombre 128 ( = 27 , l'une des quantité de plis)

 

Sites

*      Courbe du dragon – Wikipédia – Voir site anglais pour des animations

*      Sites sur les fractals

*      Les Fractales

*      Fractals unleashed

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/FracDrag.htm