NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/05/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Valeur avec i >>> Formules >>> Formules en trigonométrie >>> (1 + i) & (1 – i) >>> a + i b = 0

Nombres complexes

CALCULS autour de i, de 1 + i et 1 – i

C'est Euler qui, en 1777, a introduit la notation i pour racine de – 1. Avant lui on notait (Cardan) puis . Gauss et Cauchy adopteront la notation d'Euler.

Voir Historique

Valeurs avec i
Merci Antoine pour sa relecture attentive Prendre racine de –1 comme un tout. Mieux! Toujours utiliser le symbole i. Cela évitera de faire l'erreur suivante, en appliquant trop sagement la règle moins par moins égal plus: Suite de ce tableau en PUISSANCE de l'IMAGINAIRE

Suite en Zéro, infini et imaginaires / Identités remarquables avec i

Formules
z =	a + i b = r e^i q
z' =	a' + i b' = r' e^i^q^'
z + z' =	a + a' + i (b + b')
z z' =	(aa' – bb') + i (ab' + a'b) = r r' e^i (q + q')
1 / z =	a / (a² + b²) – i b / (a² + b²) = (1/r ) . e^–i^q

(a + ib) + (c + id)	=	(a + c)	+ i (b + d)
(a + ib) (c + id)	=	(ac – bd)	+ i (ad +bc)
1/(a + ib)	=	a/(a^2 + b^2)	– i b/(a^2 + b^2)
(a + bi) / (c + di)	=	(ac + bd)/(c^2 + d^2)	+ i (bc – ad)/(c^2 +d^2)
	=	cos	+ i sin
n^(a + ib)	=	(cos(b ln n)	+ i sin(b ln n)) n^a
sin(a + ib)	=	sin(a) cosh(b)	+ i cos(a) sinh(b)
cos(a + ib)	=	cos(a) cosh(b)	– i sin(a) sinh(b)

Voir Identités remarquables classiques

Valeurs avec i et trigonométrie

(1 + i) & (1 – i)
Carrés Voir Calcul du carré de 1 + i Sommes des carrés La somme des puissances de (1 + i) et de (1 – i) est toujours un nombre entier et, même, une puissance de 2.

Table des sommes des carrés

Formalisation

Les quatre opérations – Puissance sur chaque terme

Les quatre opérations – Puissance sur résultat

Voir Puissances de 2 / Puissances complexes entières

a + i b = 0
Si	a + i.b	= 0
Alors	a	= – i .b
Au carré	a²	= (–1)² x i² x b² = 1 x (–1) x b² = – b²
Tout du même côté	a² + b²	= 0
Ce qui impose		a = b = 0

Voir Exemple d'application géométrique avec la médiatrice

Suite	Calculs de puissances Puissance de l'imaginaire Identités remarquables avec les complexes Complexes – Index
Voir	Constantes Construction de l'heptagone Formule de De Moivre Inventaire des types de nombres Nombre de Gauss Nombres – Glossaire et index Nombres d'Eisenstein Nombres périodiques Nombres réels
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