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Édition du: 10/04/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Types de nombres figurés: liste et liens

 

Nombres

 

Nombres Polygonaux

Carrés

Pentagonaux

Hexagonaux

Autres

Penta de 2e ordre

Penta généralisé

Penta centrés

 

Penta Théorème

Penta en grappes

 

 

 

 

 

NOMBRES PENTAGONAUX

 

Nombres construits en déposant points sur des hexagones gigognes. L'un dans l'autre, mais avec deus côtés communs.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Caractéristiques

>>> Liste

>>> Pentagonaux = Somme de pentagonaux

 

Débutants

Nombres figurés ou géométriques

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

 

 

 

NOMBRES PENTAGONAUX

 

Nombres pentagonaux (P5, n) :

*          Ordinaires ou du premier ordre:

1/2 n (3n – 1)

*          Du deuxième ordre:

1/2 n (3n + 1)

*          Généralisés:                              

1/2 n (3n  1)

*          Centrés:                                     

5/2 n (n + 1) + 1

*          En grappe ou heptagonaux centrés:

7/2 n (n – 1) + 1

  

 

 

Caractéristiques des nombres pentagonaux

Famille

 

Nombre / Figuré

Pentagonaux centrés / En grappe pentagonale

 

Définitions

 

NOMBRE PENTAGONAL  (ordinaire ou du premier ordre)

 

Nombre formé à partir d'un pentagone et d'autres pentagones internes.

Le nombre est le cumul de tous les

Formule

P5, n = 1/2 (3n² – n)

 

Calcul de la formule

Cette figure montre comment relier le nombre pentagonal  aux nombres triangulaires.

 

 

 

Exemple

Calcul avec formule

½ (3 x 7² – 7) = ½ (147 – 7)

   = ½ (140) = 70

 

Calcul des aires

7² + 7x6/2 = 49 + 21 = 70

 

 

 

Test

 

Le réel x positif  est pentagonal s'il est racine de l'équation: 3n² – n – 2x = 0.

Lorsque ce nombre réel n est un entier alors x est le énième pentagonal.

 

Autre test

Vérifier que 24x + 1 est un carré et que (24x + 1)1/2 vaut 5 mod 6.

 

 

 

Avec les triangulaires

 

 P5,n  = 1/3 T3n-1 = 1/3 x 1/2 (3n–1)(3n) = 1/2  n(3n – 1)

= 3 Tn-1 + n = 3 x 1/2 x (n–1)n + n  = 3/2 x n² – 1/2 x n

= Tn-1 + n²

 

 

Autres formulations

Progression arithmétique de raison 3n – 2

Chaque nombre de la progression représente le complément à la couche pentagonale précédente.

Chaque couche comporte: 5(n – 1) points.

 

Carré de n  +  triangulaire d'ordre n (Voir figure ci-dessus pour 7)

Exemple: P5,5 = 5² + 5x4/2 =35
 

 

 

 

Un tiers du triangulaire d'ordre 3n – 1 

 

Récurrence

 

Exemple

 

 

Propriétés

 

Théorème: tous les nombres sont somme de cinq nombres pentagonaux

 

Conjecture: seuls 6 nombres ne sont pas somme de quatre nombres pentagonaux.  Vérifié au moins pour ces six valeurs.

 

Non somme de un à quatre pentagonaux

9, 21, 31, 43, 55 et 89

Exemple de calcul avec logiciel

Fonction génératrice

Voir Fonctions génératrices des polygonaux

 

Somme

Exemple: n = 4

1 + 5 + 12 + 22 = 40

4² x 5 / 2 = 40

Somme des carrés

Exemple: n = 4

1² + 5² + 12² + 22² = 654

1/60 x 4 … = 654

 

Anglais

Allemand

Pentagonal number

Fünfeckszahl oder Pentagonalzahl

 

 

      Liste des nombres pentagonaux

 

Nombres pentagonaux pour n de 0 à 99

Exemple: P5, 21 = 651

 

P5

.0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

0.

0

  1

  5

12

22

35

51

  70

  92

117

1.

145

176

210

247

287

330

376

425

477

532

2.

590

651

715

782

852

925

1 001

1 080

1 162

1 247

3.

1 335

1 426

1 520

1 617

1 717

1 820

1 926

2 035

2 147

2 262

4.

2 380

2 501

2 625

2 752

2 882

3 015

3 151

3 290

3 432

3 577

5.

3 725

3 876

4 030

4 187

4 347

4 510

4 676

4 845

5 017

5 192

6.

5 370

5 551

5 735

5 922

6 112

6 305

6 501

6 700

6 902

7 107

7.

7 315

7 526

7 740

7 957

8 177

8 400

8 626

8 855

9 087

9 322

8.

9 560

9 801

10 045

10 292

10 542

10 795

11 051

11 310

11 572

11 837

9.

12 105

12 376

12 650

12 927

13 207

13 490

13 776

14 065

14 357

14 652

    

 

 

Nombres pentagonaux carrés: [n, P8, sa racine carrée]

Ils sont quatre jusqu'à 1 million

[1, 1, 1], [81, 9801, 99], [7921, 94109401, 9701], [776161, 903638458801, 950599]

 

Liste

1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801, …

 

Nombres pentagonaux cube: [n, P8, sa racine cubique]

un seul (trivial)  jusqu'à 1 million

[1, 1, 1]

 

Nombres pentagonaux palindrome: [n, P8]

Ils sont quinze  jusqu'à 1 million

[1, 1], [2, 5], [4, 22], [26, 1001], [44, 2882], [101, 15251], [693, 720027], [2173, 7081807], [2229, 7451547], [4228, 26811862], [6010, 54177145], [26466, 1050660501], [26906, 1085885801], [31926, 1528888251], [44059, 2911771192]

 

Nombres pentagonaux et hexagonaux [Rang penta, rang hexa, nombre]

[165, 143, 40 755], [31 977, 27 693, 1 533 776 805],  [6 203 341, 53 772 251,  5 722 156 241 751], …

 

Nombres pentagonaux et heptagonaux [Rang penta, rang hepta, nombre]

[54, 42, 4 347], [3 337, 2 585, 167 011 685],  [206 830, 160 210, 64 167 869 935], …

 

Nombres pentagonaux et octogonaux [Rang penta, rang octa, nombre]

[12 507, 8 844, 23 463 132], [14 432 875, 10205 584, 312 461 813 932 000],

[16 655 525 051, 11 777 234 708, 4 161 097 720 784 05 066 376], …

 

 

Voir Carrés / Cubes / Palindromes

 

 Pentagonaux = Somme de pentagonaux

Exemple

P5,4 + P5,7 = P5,8

22 + 70 = 92

 

[4, 7, 8], [5, 5, 7], [7, 23, 24], [10, 48, 49], [12, 22, 25], [13, 82, 83], [14, 47, 49], [17, 26, 31], [17, 70, 72], [19, 22, 29], [20, 37, 42], [21, 71, 74], [25, 26, 36], [28, 52, 59], [28, 95, 99], [33, 87, 93], [35, 72, 80], [36, 67, 76], [37, 63, 73], [39, 57, 69], [42, 51, 66], [44, 82, 93], [45, 47, 65], [65, 68, 94]

 

 

 

 

Suite

*      Nombres pentagonaux du deuxième ordre

*      Nombres pentagonaux généralisés

*      Nombres hexagonaux

*      Nombres en grappe pentagonale

*      Nombres pentagonaux, hexagonaux et suite

Voir

*      Calcul des carrés

*      Caractérisation des nombres avec des premiers

*      Carré en géométrie

*      Nombres carrés – Glossaire

*      Nombres carrés – Index

*      Puissance – Index

*      Racine carrée – Calcul mental

*      Racine carrée d'un nombre – Glossaire

Sites

*      Nombre pentagonal – Wikipédia

*      Pentagonal Number – Wolfram MAthWorld

*      OEIS A000326 – Pentagonal numbers

*      OEIS A001318 – Generalized pentagonal numbers

*      OEIS A036353 – Square pentagonal numbers

*      OEIS A005449 – Second pentagonal numbers: a(n) = n*(3*n + 1)/2

*      Pentagonal Numbers: Representing Algebra Geometrically – Brilliant.org – Vidéo

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/FIGURE/Pentago.htm