NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/12/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Carrés magiques
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Devinette

Remplir la grille avec les nombres

de 1 à 8, chacun étant éloigné

de son voisin immédiat.

Solution

CARRÉ MAGIQUE DE FIBONACCI

Suite de Fibonacci: un nombre de la suite est égal à la somme des deux précédents.

Choix des nombres 

Soit 9 nombres consécutifs de la suite de Fibonacci:

Suite	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377
Choix					3	5	8	13	21	34	55	89	144

Disposition

Alors, en les disposant dans l'ordre du carré magique d'ordre 3: 

Ordre 3 Résultat

8	1	6		89	3	34
3	5	7		8	21	55
4	9	2		13	144	5

La somme des produits des lignes est égale à la somme des produits des colonnes:

9078 + 9240 + 9360 = 9256 + 9072 + 9350 = 27678

Ceci est toujours vrai, quel que soit le choix des 9 nombres consécutifs dans la suite de Fibonacci.

CARRÉ MAGIQUE MULTIPLICATIF

Multiplicatif

2	9	12
36	6	1
3	4	18

Carré multiplicatif d'ordre 3 – Générique et exemple avec a = 2 et b = 3

Ce carré a sans doute été trouvé en 1893 par G. Pfeffermann. Il est cité par Harry A. Sayles en 1913.

Sa constante magique est 216, nombre qui est le plus petit possible, démontré en 1983.

Comme tout carré magique multiplicatif, celui-ci reste magique lorsque chacun des nombres est élevé à la puissance k.
Exemple pour le cube

Il est impossible de construire un carré magique multiplicatif avec des nombres entiers consécutifs.

Un carré magique additif est transformé en carré magique multiplicatif en utilisant ses nombres comme les exposants d'un nombre quelconque.
Exemple avec le nombre 2 à la puissance des nombres du carré additif 3x3:

Henry Dudeney publie ces carrés en 1917 dans son livre Amusements in Mathematics

Exemples d'ordre 4

Celui-ci est aussi bien complet (auteur: King):

Un autre carré magique multiplicatif.
Il est magique par la multiplication de ses nombres et, en outre, les produits des carrés 2x2 donnent la constante magique (sauf 2 cas).

Ce carré est produit par les multiplications d'Hadamard successives de ces quatre matrices:

Voir Carré magique multiplicatif 7x7

Additif et multiplicatif (auteur Dénes and Keedwell )

Puissance

L'astuce est de profiter du caractère additif des exposants lors d'une multiplication de puissances. Les exposants forment un carré magique additif; les nombres en puissance de 2 forment un carré magique multiplicatif. La constante magique est égale à 2¹² = 4096. Le carré reste doublement magique pour tout autre nombre que 2, mais supérieur à 2.

CARRÉ AMBI-MAGIQUE selon Lee Sallows

Carré ambi-magique:

Somme constante sur lignes et colonnes;

Produit constant sur diagonales et pandiagonales.

Ordre 3

Formé avec les entiers les plus petits 

Somme 0

Produit 72

1	- 3	2
- 4	12	- 8
3	- 9	6

Forme générique

Somme 0

Produit abc (a + b + ca + cb)

a	- a-b	b
- a-ca	(c+1) (a+b)	- b-cb
a c	- ca-cb	cb

CARRÉ AMBI-NUMÉRIQUE ou réversible
Ordre 4 Quantité de possibilités pour lire ce carré magique en exploitant les nombres réversibles.
Reversible avec affichage septt segments Autre carré avec les mêmes propriétés – Somme plus petite La somme devient 177 en le retournant

Voir Suite

CARRÉ MAGIQUE TÊTU:

1/19	= 0,	0	5	2	6	3	1	5	7	8	9	4	7	3	6	8	4	2	1
2/19	= 0,	1	0	5	2	6	3	1	5	7	8	9	4	7	3	6	8	4	2
3/19	= 0,	1	5	7	8	9	4	7	3	6	8	4	2	1	0	5	2	6	3
4/19	= 0,	2	1	0	5	2	6	3	1	5	7	8	9	4	7	3	6	8	4
5/19	= 0,	2	6	3	1	5	7	8	9	4	7	3	6	8	4	2	1	0	5
6/19	= 0,	3	1	5	7	8	9	4	7	3	6	8	4	2	1	0	5	2	6
7/19	= 0,	3	6	8	4	2	1	0	5	2	6	3	1	5	7	8	9	4	7
8/19	= 0,	4	2	1	0	5	2	6	3	1	5	7	8	9	4	7	3	6	8
9/19	= 0,	4	7	3	6	8	4	2	1	0	5	2	6	3	1	5	7	8	9
10/19	= 0,	5	2	6	3	1	5	7	8	9	4	7	3	6	8	4	2	1	0
11/19	= 0,	5	7	8	9	4	7	3	6	8	4	2	1	0	5	2	6	3	1
12/19	= 0,	6	3	1	5	7	8	9	4	7	3	6	8	4	2	1	0	5	2
13/19	= 0,	6	8	4	2	1	0	5	2	6	3	1	5	7	8	9	4	7	3
14/19	= 0,	7	3	6	8	4	2	1	0	5	2	6	3	1	5	7	8	9	4
15/19	= 0,	7	8	9	4	7	3	6	8	4	2	1	0	5	2	6	3	1	5
16/19	= 0,	8	4	2	1	0	5	2	6	3	1	5	7	8	9	4	7	3	6
17/19	= 0,	8	9	4	7	3	6	8	4	2	1	0	5	2	6	3	1	5	7
18/19	= 0,	9	4	7	3	6	8	4	2	1	0	5	2	6	3	1	5	7	8

Somme 81, lignes et colonnes, c'est normal

Mais, diagonales c'est plus dur!

Voir Nombres têtus

Carré magique à PERMUTATIONS

Les deux carrés sont magiques

Les chiffres de l'un sont la permutation des chiffres de l'autre

00	13	21	09
06	19	02	10
12	20	08	16
18	01	14	22

Somme 60

00	31	12	90
60	91	20	01
21	02	80	61
81	10	41	22

Somme 204

Carré magique à MOTIFS

Carré à motif selon Howard Dinesman
("Superior Mathematical Puzzle", 1968)

Esthétique

18	99	86	61
66	81	98	19
91	16	69	88
89	68	11	96

Somme 264

Nombres pairs de 2 à 32

00	31	12	90
60	91	20	01
21	02	80	61
81	10	41	22

Somme 68

Devinette – Solution

Remplir la grille avec les nombres

de 1 à 8, chacun étant éloigné

de son voisin immédiat.

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