NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/03/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	IDENTITÉS
Débutants Somme	SOMMES Nombres et puissances					Glossaire Addition
INDEX Sommes Calcul Identités	Index et Formules		Entiers	Carrés	Cubes
	Somme des puissances de 2 à 20 des nombres successifs
	Somme des puissances de nombres en progression arithmétique
	Nombre somme de puissances
	Somme d'un nombre à des puissances successives
	Somme d'expression en x et puissances successives
		Sommaire de cette page >>> Somme de puissances – En résumé >>> Sommes des puissances successives d'un nombre >>> Puissance de 2 >>> Puissance de 3 >>> Puissance de 4 >>> Puissance de 5 et + >>> Puissances de 2, 3 … >>> Puissances de 9 >>> Fractions diverses >>> Impairs et inverses de 2 >>> Somme des inverses des puissances

SOMMES avec des

PUISSANCES SUCCESSIVES

Les sommes classiques des nombres successifs ont déjà été vues:

entiers, pairs, impairs

carrés, cubes ou autres puissances

inverses, etc.

Cette page est consacrée à des sommes qui font intervenir un même motif impliquant des puissances successives.

Ne pas confondre:

Somme des nombres successifs portés à une puissance donnée, et

Sommes des puissances successives d'un même nombre ou d'un même motif.

Voir Nombres consécutifs / Suites géométriques

Somme de puissances – En résumé
Formule générale Cas des puissances de 2	Exemples 4^0 + 4^1 + 4^2 + 4^3 + 4^4 = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341 = (4^5 – 1) / (4 – 1) – 1 = 1023 / 3 = 341 1 + 10 + 100 + 1 000 = 1 111 = (10^4 – 1) / (10 – 1) = 10 000 / 9 = 1 111 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …+ 1 024 = 2 048 – 1 = 2 047
Valeur de a en horizontal et de n en vertical Nombres de ce tableau jusqu'à 1111. Ils sont 37. 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 21, 31, 40, 43, 57, 63, 73, 85, 91, 111, 121, 127, 156, 255, 259, 341, 364, 400, 511, 585, 781, 820, 1023, 1093, 1111.

Voir Brève 415 / Brève 1009

Sommes des puissances successives d'un nombre
Formules générales Elles découlent directement de la division indiquée en rouge, elle-même faisant l'objet d'une identité remarquable. Ces identités remarquables se retrouvent en numération où n représente la base ou encore pour caractériser certains nombres brésiliens (repdigits). Cas particulier où n = 2 Notons que la sommes des puissances successives de 2 est égale à la puissance suivante décrémentée de un.	Suites géométriques de raisons a et 1/a Ex: 1 + 5 + 5² = 31 = (5^3 – 1) / (5 – 1) ) = 124 / 4 = 31 1 + 1/5 + 1/5² = 1 + 0,2 + 0,04 = 1,24 = 124 /(4 x 5²) = 1,24 Suites géométriques de raisons 2 et 1/2 Ex: 1 + 2 + 2² = 7 = 2^3 – 1 = 7 1 + 1/2 + 1/4 = 1,75 = 7 / 2² = 1,75

Voir Suites géométriques / Nombres décimaux et périodiques

Merci à Frank J. pour sa contribution

Puissances de 2
Avec puissances de 2 Exemple	n = 5 1x4 + 3x8 + 5x16 + 7x32 +9x64 = 908 = 32(40-12) + 12
Avec inverse des puissances de 2 Exemples	Voir DicoNombre 6 n = 5 => S = 5,53… n = 10 => S = 5,97… n = 20 => S = 5,999957…

Puissances de 3
Avec puissances de 3 (avec exemples de notations) Exemples	Suite géométrique de raison 3 n = 5 => S = 364 n = 10 => S = 88 573
Avec inverse des puissances de 3 Exemples Somme infinie	Suite géométrique de raison 1/3 n = 5 => S' = 364 / 243 = 1,4979… n = 10 => S' = 88 573 / 59 049 = 1,4999915…
Sommes infinies avec numérateur	Voir DicoNombre 2,25 Voir DicoNombre 0,75 Voir DicoNombre 6
Produit Notations Exemples	n = 1 => P = 40/27 = 1,481 481 … n = 2 => P = 3 280 / 2 187 = 1,49977… n = 3 => P = 1,499999965… n = 5 => P = 1,5 à 10^-31 près. Ce produit tend vers 1,5 pour n infini.

Puissances de 4
Avec puissances de 4 Exemples	Suite géométrique de raison 4 n = 3 => S = 85 n = 5 => S = 1 365 n = 10 => S = 1 398 101
Avec inverse des puissances de 4 Exemples Somme infinie	Suite géométrique de raison 1/4 n = 3 => S' = 85 / 64 = 1,328125 n = 5 => S' = 1 365 / 1 024 = 1,333007… n = 10 => S' = 1 398 101 / 1 048 576 = 1,333333015…

Voir Somme des puissances quatrièmes

Puissances de 5 et plus
Avec puissances de 5
Avec puissances de A >1	Somme des puissances n d'un entier A Somme des puissances n de l'inverse d'un entier A Exemple avec l'inverse de A = 10
Puissances de 5 et numérateur Exemples	n = 5 => S'n = 39 / 25 = 1,56

Puissances de 2, 3 …
Entier, carrés et cubes Exemple	n= 3 => 3/2 + 14/6 + 39/12 = 85/12 = 7,08333… = 1 + 2 + 3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 85/12
Entier, carrés et bicarrés Exemple Calcul Voir Identités avec le quatrième degré	n= 3 =>

Voir Carrés et inverses

Sommes des puissances de 9

haut

Calcul simple des sommes des puissances successives de 9 (par factorisation) Deux méthodes voisines pour le calcul des six puissances successives (hors le 1 = 9^0) Liste des 20 premières sommes des puissances de 9 1, 10, 91, 820, 7381, 66430, 597871, 5380840, 48427561, 435848050, 3922632451, 35303692060, 317733228541, 2859599056870, 25736391511831, 231627523606480, 2084647712458321, 18761829412124890, 168856464709124011, 1519708182382116100, … Notez l'alternance 0, 1 pour les unités explicable par le calcul par factorisation. Ce sont les nombres de la forme (9^n – 1)/8 qui sont aussi les nombres triangulaires différences de carrés; aussi les repunits (1, 11, 111, …) en base 9

Voir Brève 58-1147 / Somme des mêmes chiffres

Fractions diverses
Fraction Exemple
Puissances 2 et 3 Exemple	Voir Recherche de formule
Puissances 2 et 4 Exemple
Puissance et infinis			Voir Formule de Goldbach
Puissances et factorielles	La énième différence finie des puissances énièmes est égale à factorielle n.		Voir Explications et démonstration
Impairs et inverses de 2

Somme des inverses de n à des puissances successives
La somme des inverses de toutes les puissances parfaites, y compris les doublons, vaut 1. Notez bien le départ des indices: n = 2 et k = 2. En effet: Note 1: voir le tableau ci-dessous pour visualiser la légitimité de la mise en facteur commun de 1/n². Note 2: les fractions finales, impliquant des nombres consécutifs, s'éliminent deux à deux: Seule la première (1) et la dernière (qui tend vers 0) subsistent. Exemple de valeurs numériques Jusqu'à n = k = 10 Jusqu'à n = k = 100 Son calcul avec Maple La convergence vers 1 est très lente: avec n = k = 1000, on a 0,9990… Exemple de début de calcul
Cas des puissances (et non des inverses) Pour information la somme des puissances (les mêmes, mais en partant de 1 et non de 2) donne: 1^1 + 1^2 + 2^1 + 2^2 = 8; 1^1 + 1^2 + 1^3 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 3^1 + 3^2 + 3^3 = 56. Suite sur le tableau => Notez la curiosité avec des couples de 6 au dixième rang. S = 16676686632 = 1,667668663 10^10

Immense merci à Claude M. pour sa contribution qui a conduit à mettre à jour cette page

Retour	Somme des carrés des entiers successifs
Suite	Somme d'expression en x et puissances successives Somme des inverses Somme des puissances de 2 à 20 Somme des puissances successives Formules avec les puissances 4 Toutes les formules de somme Nombres de Bernoulli et sommes de puissances
Table	Carrés, cubes … et leurs cumuls
Voir	Carrés Constantes Cubes Factorielles et somme des entiers Identités remarquables – Formulaire Isopérimètre Nombres consécutifs Index Nombres de Bernoulli Nombres géométriques Pairs et impairs Somme des puissances des nombres successifs - Holopotentiel Tautochronie Théorèmes
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