NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/11/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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PUISSANCE de 2

Approche

Connaissance des puissances de deux.

PUISSANCE DE 2 - Approche
Les informaticiens connaissent bien les puissances de deux. On retient généralement deux valeurs simples par mnémotechnique (en rouge). La puissance dix (1024) est souvent utilisées dans le monde des ordinateurs: c'est le kilo des informaticiens.	1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 … 1024 2 ^6 = 64 2^10 = 1024 2^20 vaut un peu plus d'un million 1024 octets = 1 koctets (français) 1024 bytes = 1 kbytes (anglais)

Tableau de valeurs
Toutes les puissances de 2 jusqu'à 226 et leurs correspondances en puissance de puissance de deux.	Exemple de lecture du tableau 256 = 2 ^8 = 4^4 = 16^2 1024 = 2^10 = 4^5 = 32^2

	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
2	1
4	2	1
8	3		1
16	4	2		1
32	5				1
64	6	3	2			1
128	7						1
256	8	4		2				1
512	9		3						1
1 024	10	5			2					1
2 048	11
4 096	12	6	4	3		2
8 192	13
16 384	14	7					2
32 768	15		5		3
65 536	16	8		4				2
131 072	17
262 144	18	9	6			3			2
524 288	19
1 048 576	20	10		5	4					2
2 097 152	21		7				3
4 194 304	22	11
8 388 608	23
16 777 216	24	12	8	6		4		3
33 554 432	25				5
67 108 864	26	13

Voir Multi-puissances / Courbe du nénuphar /

Table des puissances de 2 avec mise en valeur des derniers chiffres

Puissances de 2 mod 99

Unité des puissances de 2

Les unités des puissances de 2 se répètent selon un cycle de quatre valeur: 2, 4, 8, 6. Soit le tableau résumé suivant:

Voir Unités des puissances

Le final des puissances de 2 est égal à n chiffres de l'exposant

Exemple: 2³⁶ = 68719476736

Liste: 14, 36, 736, 8736, 48736, 948736, 2948736, 32948736, 432948736, 3432948736, 53432948736, 353432948736, 5353432948736, 75353432948736, … OEIS A121219

Chacun, à partir de 36, est égal au précédent avec un chiffre de plus à gauche.

Voir Unités des puissances

VALEURS VISUALISÉES
On s'intéresse aux puissances paires de deux (lignes en jaune sur le tableau ci-dessus) et on visualise leurs valeurs. Un facteur 2, pour le nombre et pour l'exposant, lie les puissances de 2 et les puissances de 4. Exemple 4^2 = 2^4 4^3 = 2^6 En effet 4^n = (2 x 2)^n = 2^n . 2^n = 2^2n Pour les autres nombres, on peut recalculer les valeurs en appliquant le même procédé Exemple 16^2 = (2^4)^2 = 2^8 En effet 16^n = (2 x 2 x 2 x 2)^n = 2^n . 2^n . 2^n. 2^n = 2^4n Le nombre 4096 fait un tabac avec 5 possibilités de puissances de puissances de deux. Pas étonnant avec 12, nombre hautement composé, comme exposant

Amusement qui finit par une question sérieuse

Observons les puissances de 2 en les mettant à l'envers, en retournant les chiffres. Est-il possible de trouver une puissance de 5 parmi de tels nombres. (n^2) retourné = m^5 ? Une puissance de 5 se termine toujours par un 5. Pour être candidate, la puissance de 2 devra commencer par un 5. Exemples: les puissances de 2 successives commençant par 5: Aucune n'est une racine cinquième entière. Conjecture de Dyson Aucun retourné d'une puissance de 2 n'est une puissance de 5. Exemple de conjecture qui peut être vraie et indécidable. Même si Freeman Dyson (Princeton) développe une intuition argumentée à base de probabilités. Cité par Jean-Paul Delahaye – Pour la Science janvier 2009 Il semble qu'il soit également difficile de trouver une puissance 2 retournée qui soit un carré ou un cube.

Puissances négatives – Vers zéro
Une puissance négative est, en fait, une puissance positive au dénominateur. La courbe montre que la courbe y = 2^x est asymptotique: lorsque x tend vers moins l'infini, alors sa puissance tend vers 0.

Jeu du 2048
Jeu de grille qui se joue sur une grille de 4 x 4, inventé en 2014 par un jeune programmeur italien, Gabriele Cirulli Les quatre flèches du clavier déplacent tous les nombres présents (tuiles) pour les plaquer du côté indiqué (ici, en haut, tous à droite). En même temps, un 2 ou un 4 s'affiche dans une des cases libres. Si lors du mouvement, deux nombres identiques se touchent, ils s'ajoutent. Le but est d'obtenir la somme 2048 par somme successives. Une tuile passe de 2 à 2048 en étant doublée dix fois, et en neuf fois pour un départ avec a4 Le jeu se termine dès qu'il est impossible d'ajouter un nombre en plus, toutes les cases étant remplies. Exemple En passant de la grille du haut à celle du bas, nous avons appuyé sur la flèche "haut": En 1^ère colonne: nouveau nombre, le 2; En 3^e colonne le 4 est plaqué en haut; et En 4^e colonne, addition sur deux cases comportant des 2 pour donner le 4, et le troisième 2 est plaqué le plus haut possible. Il existe évidemment une part de hasard du fait de l'apparition aléatoire d'un 2 ou d'un 4 n'importe où. En ce sens, ce jeu s'apparent à une réussite avec des cartes.	Accès à ce jeu en ligne >>>
Maximum théorique Le maximum n'est pas 2048 = 2^11, bien que ce nombre soit déjà difficile à atteindre. En théorie, c'est 2^17 = 131 072. Il faut avoir la double chance d'atteindre cette configuration et d'obtenir un 4 et non un 2 dans la dernière case (jaune).	Configuration pour atteindre la maximum théorique

Voir la vidéo de Micmaths (Michaël Launay)

Suite	Puissance de 2 – Propriétés Puissances de 2 dans les factorielles Puissance de 3 Puissance des nombres – Autres pages
Voir	Octave en musique Produit amusant en puissances de 2 et de 5 Puissances – Index Puissances de 2 et nombre 142857 Puissances et exposants
DicoNombre	Nombre 2048
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