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PENTAGONE RÉGULIER

sous toutes les coutures

Toutes les mesures du pentagone régulier convexe. Notez la propriété fondamentale de ses diagonales: longueur égale au nombre d'or et découpe des diagonales en inverse du nombre d'or (Illustration ci-dessous).

Angles du pentagone régulier

Voir Approximation de la tangente de 72° / du sinus de 36° / Énigmes avec les angles

Diagonales et leur découpe en nombre d'or / Pentagones gigognes

Sachant que de base: diagonale / côté = nombre d'or (phi)

Voir Puissances du nombre d'or Phi (Phi² = Phi + 1) / Nombres de Fibonacci

Merci à Bruno Capelle pour l'idée de mettre en valeur les relations métriques dans cette figure gigogne

Triangle rectangle de base dans le pentagone
Les deux triangles colorés sur la figure sont importants car ils permettent le calcul des longueurs des divers segments inclus dans le pentagone régulier. Ci-dessous, les principaux éléments de calcul.
Dans le pentagone, on trouve deux triangles rectangles 36 – 54. Ils sont assemblés par un côté de l'angle droit pour former deux triangles isocèles (voir figure ci-dessous). La dimension de référence est l'hypoténuse de l'un d'eux: R = 1, le rayon du cercle circonscrit du pentagone. Ce triangle (celui du bas sur le dessin du pentagone complet) est répété dix fois pour couvrir complètement le pentagone. On passe de l'un à l'autre en prenant le côté c/2 pour former l'hypoténuse c de l'autre triangle. Notez bien qu'ils sont de tailles différentes.

Voir Triangles rectangles typiques / Angles du pentagone

Mesures dans le pentagone

R = rayon du cercle circonscrit; ici, pris comme mesure unité.

a = r = apothème ou rayon du cercle inscrit (distance du centre à l'un des côtés).

c = côté du pentagone.

d = l'une des diagonales (relie deux sommets non voisins).

H = hauteur du pentagone (distance du sommet au côté opposé).

h = distance d'un sommet à une diagonale.

p = périmètre; A = aire

Formules principales connaissant la longueur du côté (c)

Côté et rayon du cercle circonscrit		Diagonale
Rayon du cercle inscrit (apothème)		Hauteur du pentagone H = R + r
Hauteur des triangles au sommet		Hauteur des trapèzes He = H –h
Périmètre	Aire (Phi: nombre d'or et T aire d'un triangle type ABC)

Pour relations avec nombre d'or, voir notes de calcul.

Voir Calcul de la hauteur H selon deux méthodes / Nombre 3,618…

Relations illustrées pour R = 1

Relations croisées pour c = 1 ou R = 1 ou r = 1

Pentagone unité en coordonnées cartésiennes

Apothème
L'apothème p est aussi le rayon du cercle inscrit au pentagone. Si S est l'aire du pentagone, c'est aussi l'aire des cinq triangles du type OAB dont l'aire vaut: ½ p·c On en déduit la longueur de l'apothème:

Voir Apothème du décagone / Brève 912

Formules développées en racine de 5 et avec le nombre d'or

Prenons un pentagone inscrit dans un cercle de rayon R = 1. R est aussi le rayon du cercle circonscrit du pentagone régulier.

Alors, l'apothème, qui est aussi le rayon du cercle inscrit dans le pentagone, mesure la moitié du nombre d'or.

a = 1,618/2 = 0,809…

D'une manière générale la longueur de l'apothème (a) ou du rayon inscrit (r) vaut:

Et le côté du pentagone:

Merci à Jean-Louis Beuil pour ses précisions

Notes de calcul pour mise en évidence du nombre d'or:

Aire du pentagone

A = 5/2 a.c

Exemples:

Si c = 16 alors a = 11, 011… et A = 440, 442…

Si c = 1 alors a = 0, 688… et A = 1, 720…

Si c = 10 alors a = 6, 882… et A = 172,047…

Aire du cercle circonscrit et du cercle inscrit

	Cercle inscrit	Pentagone	Cercle circonscrit
Mesure	a = 0,809	c = 1,175	R = 1
Aire	3,14 x (0,809)²	2,5 x 0,809 x 1,175	3,14 x 1
Valeur	2,05	2,37	3,14
Ratio	0,86	1	1,32

Voir Angles et trigonométrie dans le pentagone / Aire du pentagone / Autres mesures dans l'étoile / Apothème

Liste de nombres irrationnels

Hauteur du pentagone
La hauteur est la perpendiculaire à un côté issue du sommet opposé. Elle est égale à la somme des rayons des cercles inscrit et circonscrit.
Méthode 1 Avec la diagonale et le théorème de Pythagore
Méthode 2 Avec les rayons : H = R + r Ici, le calcul avec les radicaux est difficile; on passe aux carrés. "On enlève le chapeau le temps des calculs et on le remet à la fin".

Dissection du pentagone
Comment partager un pentagone régulier en quatre triangles isocèles et former un trapèze isocèle avec ces quatre pièces. Solution Formulation et application numérique

Pentagones et triangles équilatéraux
Figure formées avec un pentagone et les triangles équilatéraux intérieurs et extérieurs tracés sur les côtés.

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Suite	Angles du pentagone Centre de gravité du pentagone Construction étonnante du pentagone Pentagone et carré – Calcul d'angles Pentagone et le nombre d'or Pentagones de Dürer Hexagone
Voir	Calcul de Pi Construction géométrique des nombres Dodécagone Géométrie – Index Pentagone et racines de 1 Polygone Partage du cercle en parts égales Pavage avec polygones Hexagone – Généralités
Diconombre	Nombre 12 Nombre 0,517
Site	Pentagone régulier convexe - Wikipédia Regular polygon calculator Pentagon – Wolfram MathWorld – Nombreuses autres formules .
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Pentagon.htm