Inscrire le triangle équilatéral dans le carré

Édition du: 06/12/2024

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TRIANGLE inscrit dans le CARRÉ

ou dans le rectangle

Construction du triangle isocèle et du triangle équilatéral dans un carré.

Sommaire de cette page

>>> L'angle du triangle inscrit dans le carré

>>> Triangle isocèle dans le carré

>>> Triangle équilatéral dans le carré

Débutants

Géométrie

Glossaire

Géométrie

Devinette

Un rectangle ABCD (100 x 96).

Ayant choisi les points D et C, on trouve les périmètres des trois triangles rectangles périphériques: 300, 288 et 84.

Quel est le périmètre du triangle bleu ?

Solution

L'angle du triangle inscrit dans le carré		haut
Un problème posé en quatrième. Il semble simple, mais sans doute impossible sans l'aide d'une construction astucieuse. Démarche pour trouver cette construction.
Construction Un carré et un triangle inscrit dans ce carré. Avec les deux angles indiqués, trouver la valeur de l'angle alpha. Pistes Avec les angles donnés et du fait que la somme des angles d'un triangle égal à 180°, on en déduit les angles indiqués sur la deuxième figure. Cependant les angles α, α', β et β' restent inconnus. On sait que: Merveilleux! Quatre équations pour quatre inconnues. Hélas, l'une d'elle est redondante et, on obtient une solution en fonction de l'un des angles. Comme par exemple: α = 25° + β'. Idée (intuition ?) Pour s'en sortir, il faut trouver une construction facilitatrice. Mais laquelle ? On peut penser à un triangle symétrique du triangle bleu par rapport à DF. Une sorte de rotation du triangle bleu autour de DF. Pour cela, construisons le triangle rectangle ADG avec un angle de 20° en D, ce qui conduit à 70° en G. Alors: AD = DC = côté du carré. Les triangles rectangles ADG et CDE, avec AD = DC et les angles en D = 20°, sont isométriques. Notamment DG = DE. Valeur de l'angle alpha Comparons les deux triangles DFE (bleu) et DFG: Un côté commun: DF; DG = DE; et Angles en D: tous deux égaux à 45°. Ces deux triangle sont isométriques (et même symétriques par rapport à DF) Conclusion les angles en F sont égaux et: α = 65°	Figure initiale Figure avec notations Figure avec construction pour la solution

Triangle isocèle dans le carré

Ce triangle dans le carré est certainement isocèle, mais pas équilatéral.

Longeur des côtés

b = 1,1180… a

Aire du triangle
A = a² / 2

Angle à la base du triangle isocèle

Triangle équilatéral dans le carré
Comment inscrire un triangle équilatéral dans un carré? Les sommets du triangle doivent se trouver sur les sommets ou les côtés du carré. Méthode d’abul-Wafa Un carré et son cercle circonscrit (centre O et rayon OA). Cercle de centre B de même rayon (pointillés). Il coupe le cercle circonscrit en E et F Les segments DE et DF coupent le carré en G et H. Le triangle DGH est un triangle équilatéral inscrit dans le carré.
Démonstration rapide Les triangles notés 2 sont égaux par symétrie due à la construction. Ce qui conduit à : DG = DH. Le même raisonnement conduirait à l’égalité avec HG. Les trois côtés du triangle DGH sont égaux, c’est un triangle équilatéral. Démonstration égalité des triangles notés 2
Les angles en A et C du carré sont droits:
Les côtés du carré sont égaux:	CD = DA
Du fait de la symétrie de la constrution les arcs:	EC et FA sont égaux Et les angles les interceptant aussi :
Avec ces trois éléments égaux deux à deux:	Les triangles noté 2 sont égaux (isométriques).