NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Triangle isocèle dans le carré

>>> Triangle équilatéral dans le carré

 

 

 

TRIANGLE inscrit dans le CARRÉ

ou  dans le rectangle

 

Construction du triangle isocèle et du triangle équilatéral dans un carré.

 

Devinette

 

 

Un rectangle ABCD (100 x 96).

Ayant choisi les points D et C, on trouve les périmètres des trois triangles rectangles périphériques: 300, 288 et 84.

Quel est le périmètre du triangle bleu ?

Solution

 

 

 

Triangle isocèle dans le carré

 

Ce triangle dans le carré est certainement isocèle, mais pas équilatéral.

 

Longeur des côtés



b = 1,1180… a

 

Aire du triangle
 A = a² / 2

 

Angle à la base du triangle isocèle

 

 

 

 

Triangle équilatéral dans le carré

 

Comment inscrire un triangle équilatéral dans un carré? Les sommets du triangle doivent se trouver sur les sommets ou les côtés du carré.

 

Méthode d’abul-Wafa

 

Un carré et son cercle circonscrit (centre O et rayon OA).

Cercle de centre B de même rayon (pointillés).

Il coupe le cercle circonscrit en E et F

Les segments DE et DF coupent le carré en G et H.

Le triangle DGH est un triangle équilatéral inscrit dans le carré.

 

 

Démonstration rapide

 

Les triangles notés 2 sont égaux par symétrie due à la construction. Ce qui conduit à : DG = DH.

Le même raisonnement conduirait à l’égalité avec HG.

Les trois côtés du triangle DGH sont égaux, c’est un triangle équilatéral.

 

 

 

 

Démonstration égalité des triangles notés 2

Les angles en A et C du carré sont droits:

Les côtés du carré sont égaux:

CD = DA

Du fait de la symétrie de la constrution les arcs:

EC et FA sont égaux

Et les angles les interceptant aussi :

Avec ces trois éléments égaux deux à deux:

Les triangles noté 2 sont égaux (isométriques).

 

 

Devinette – Solution

Périmètre du rectangle: PR = 2 x (100 + 96) = 392

La somme des périmètres des trois triangles roses vaut: P3 = 300 + 288 + 84 = 672.

Elle représente une fois le périmètre du rectangle auquel on ajoute le périmètre du triangle bleu PTB .

P3 = PR + PTB

PTB = P3 – PR = 672 – 392 = 280

 

Remarque

Le quadrillage montre que les valeurs ne sont pas choisies au hasard.

Les longueurs des côtés du triangle bleu sont des nombres entiers. Ce qui implique que les triangles roses sont des triangles de Pythagore:

100² + 75² = 125²;  96² + 72² = 120²; 28² + 21² = 35²

Une alternative avec a = 100

100² + 75² = 125²;  96² + 28² = 100²; 72² + 21² = 75²

 

Toutes les solutions pour EG en dizaines et les autres mesures jusqu'à 100:

Il y en a 21 pour 122 au total pour tous les EG de 1 à 100.

10 /  (aucune)

20, 48, 52, 60, 11, 61, 9, 12, 15

30, 16, 34, 28, 21, 35, 9, 12, 15

30, 16, 34, 36, 15, 39, 15, 20, 25

30 /

40, 9, 41, 24, 32, 40, 8, 15, 17

50 /

60, 11, 61, 20, 48, 52, 12, 9, 15

60, 32, 68, 52, 39, 65, 21, 20, 29

60, 32, 68, 56, 42, 70, 18, 24, 30

60, 32, 68, 72, 30, 78, 30, 40, 50

60, 32, 68, 77, 36, 85, 24, 45, 51

60, 45, 75, 77, 36, 85, 24, 32, 40

70, 24, 74, 96, 40, 104, 30, 72, 78

80, 18, 82, 33, 44, 55, 36, 15, 39

80, 18, 82, 39, 52, 65, 28, 21, 35

80, 18, 82, 48, 64, 80, 16, 30, 34

80, 39, 89, 54, 72, 90, 8, 15, 17

80, 60, 100, 84, 35, 91, 45, 24, 51

90, 48, 102, 84, 13, 85, 77, 36, 85

90, 48, 102, 84, 63, 105, 27, 36, 45

90, 56, 106, 88, 66, 110, 24, 32, 40

100, 75, 125, 96, 28, 100, 72, 21, 75

100, 75, 125, 96, 72, 120, 28, 21, 35

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