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Édition du: 02/04/2022

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PLIAGE de la feuille A4

 

Amusements avec une feuille rectangulaire, y compris possibilités spécifiques au format A4.

  

 

Sommaire de cette page

>>> Combien de morceaux

>>> Carré et triangle isocèle en A4

>>> Triangle équilatéral en A4

>>> Trisection du rectangle

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Anglais:  Paperfolding, line of crease (ligne de pli)

 

Record de pliages

Le record du nombre de pliages est actuellement détenu par des étudiants en mathématiques de l’école Saint Marks de Southborough. Ils ont battu le précédent record du monde en réussissant à plier 13 fois du papier-toilette. Ils ont utilisé plusieurs rouleaux. Bout à bout le bandeau faisait 1,2 kilomètre de long. Une fois plié en 13, ils ont obtenu un bloc de papier de 1,5 mètre, épais de 76 centimètres et composé de 8 192 couches de papier toilette.

Sept fois ?  On prétend que la limite est de sept pliages avec du papier ordinaire. Au-delà, cela exigerait une énorme quantité d'énergie pour terminer le pli. Avec une bande de 15 cm de long et 0,1 mm d'épaisseur, au bout de sept plis, l'épaisseur (12,8 mm) est plus grande que la longueur (1,25 mm).

 

 

Combien de morceaux

haut

 

Problème 1

Plier une feuille de papier en deux.
Puis encore en deux dans l'autre sens.

Couper parallèlement aux bords.

Combien de morceaux (rouge) ?
 

Solution

Non, pas quatre, mais seulement trois morceaux.

 

Problème 2

Dénombrer les morceaux dans les quatre cas de pliages et coups.

 

Dénombrement

Le tableau fait le point en fonction du sens des deux plis et de la coupe.

L'lustration montre comment dénombrer les différents morceaux dans les quatre cas.

 

Le cas de la ligne 4 correspond au cas du premier problème.

 

Solution

 

 

Voir Nombre 3

 

 

Carré et triangle isocèle en A4

haut

 

Découper un  carré dans une feuille A4

Simple !

Plier en ramenant le côté le plus court sur le côté le plus long.

Découper la bande rectangulaire qui dépasse.

 

Rappel

La longueur vaut racine de deux fois la largeur.



La diagonale du carré est égal au grand côté :
 

 

 

Construction du triangle isocèle

Les deux côtés égaux sont rapidement trouvés !

Le grand côté et la diagonale du carré.

Le triangle vert est isocèle.

 

Aire du triangle isocèle

Le dessin montre à l'évidence que son aire vaut la moitié de celle du rectangle.

 

Illustrations

 

Voir Format A4

 

 

Triangle équilatéral en A4

haut

 

Obtenir un triangle équilatéral
par pliage d'un feuille A4

 

Première étape, construire un angle de 60°.

Facile par pliage: rabattre le bord C en G sur la médiane EF.

 

Construction géométrique:
Arc de cercle (B, BC) pour reporter C en G avec BC = BG.
Médiatrice de CG. Intersection H: alors HC = HG. Avec le pliage, le bord HC  est passé en HG.

Justification:

Remarquez que cette construction réalise une trisection de l'angle droit.

 

Deuxième étape, construire un autre angle de 60°

Par pliage, il suffit d'amener le bord HD sur le pli HB.

Le point D passe en M.

La surface verte montre le pliage.

Le triangle BHN est équilatéral.

 

Construction géométrique:
Arc de cercle (H, HD). Intersection M.
Perpendiculaire en M et report de BC sur MP.
Perpendiculaire en P à MP. Intersection N.

Justification:
Triangle BCH reporté en BGH (symétrie).
Angle CBH = ½ CBG = 30°
Angle CHB complémentaire = 60° = angle GHB.

   

 

Illustrations

 

 

Côté du triangle équilatéral
Dans BCH:

 

Voir Tables trigonométriques / Brève 870

 

 

Trisection du rectangle

haut

 

Plier la feuille exactement en trois

Prendre une feuille rectangulaire.

Obtenir le pli de la diagonale AC.

Et aussi le pli de la semi-diagonale DE (E est le milieu de AB)

Le point F est au tiers de AB en abscisse et au tiers de AD en ordonnée.

 

Propriété générale

 

Dans un rectangle, le point d'intersection F de la diagonale et de la demi-diagonale est au tiers de la longueur comme de la largeur.

 

 

 

Illustration (cas de la feuille A4)

  

 

 

Justification 1

Avec le théorème de Thalès (proportionnalités):

 

 

Justification 2

Avec l'équation de la droite passant par deux points connus:

Voir Brève 882

 

 

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