Triangle isocèle 20 80 80

Triangle isocèle particulier qui fait l'objet de calcul d'angles. Exemples de problèmes où une construction est nécessaire pour d'aboutir à la solution. Comment la trouver, intuition mathématique ou logique? Il est vrai que la construction faite, la résolution est plus facile.

Le triangle 20-80-80 – Résolution
Triangle isocèle avec une base de longueur BC = 1 Longueur des côtés Longueur des hauteurs Périmètres et aire
Pour information Le nombre L est solution de l'équation x³ – 3x² + 1 = 0

Voir Résolution du triangle isocèle

Simple sécante – Recherche de l'angle

Problème

Un triangle 20 80 80. La longueur de la base BC est reportée en AD. Quelle est la valeur de l'angle x = ABD?

Idée

Construire un autre triangle identique au premier qui va doubler la valeur de x.

Solution

En A on dessine la base du nouveau triangle: AE = BC = AD et angle en A = 80°.

En comparant les triangles ABC et BAE, ils ont

un côté commun AB;

un côté de même longueur: BC = AE;

un angle égal à 80°

ils sont isométriques:

Ils sont isocèles

l'angle au sommet B vaut 20%

Le triangle ADE est équilatéral avec un angle de 60° et deux côtés de même longueur. L'angle DEB vaut 80 – 60 = 20°.

Dans les triangles ADB et EDB, les angles en D sont égaux, de même que les angles en A et E (20°); les troisièmes angles sont égaux, soit 2x = 20°. Soit la valeur de x = 10°.

Le créateur de ce problème avait sans doute la figure de droite au départ et il l'a dépouillée pour créer cette énigme.

Deux traiangles isocèles siamois (un côté commun).

Célèbre problème réputé difficile

Le problème qui suit daterait d'au moins de 1916. Posé lors d'un examen d'entrée au collège Peter and Sidney Sussex College, Cambridge University. Il est réapparut dans la revue Mathematical Gazette en 1923.

Divers mathématiciens ont relevé le défi et ont trouvé diverses solutions géométriques ou trigonométriques. Voir références

Je présente une solution qui est basée sur la recherche de symétrie.

Triangles dans le triangle – Cas 60 50
Problème Sur la base BC, construisons un triangle particulier BFC dont les angles valent 60° et 50°. Les côtés prolongés coupent AB et AC en D et E, créant un nouveau triangle DEF. Trouvez la valeur des angles x et y. Réflexions – Recherche de pistes de raisonnement Les angles à la base valent 80°. L'angle DBE = 20°, comme l'angle au sommet. Le triangle AEB est isocèle. Un indice pour la solution ? La connaissance des angles à la base, permettent de propager les valeurs des angles dans la figure (valeurs en noir). Malheureusement, sans possibilité de conclure sur x et y, sinon que x + y = 110° L'énoncé nous fait construire un angle de 60°, valeur propice à faire naitre un triangle équilatéral. Une piste? Comme souvent en géométrie, la solution nécessite la construction de relais pour atteindre le but. La piste du triangle équilatéral suggère de symétriser la figurer en superposant sur cette figure sa figure symétrique. Alors, il sera possible de remonter les angles jusqu'à atteindre x et y.		Une variante existe avec les angles 60° et 70° au lieu de 60° et 50°.
Solution Telle que dessinée la figure fait apparaitre deux triangles équilatéraux (jaunes) et deux couples de triangles isocèles (ocres). Le triangle BCD' est isocèle (angles: 50° et 80° par construction => 50° pour le troisième). Le triangle BGC est équilatéral (deux angles à 60°, par construction). BC = CG = CD' Le triangle GCD' est isocèle. Angle au sommet 20° => angles à base = 80°. Triangle GD'E: son angle en E vaut 180 – 60 – 80 = 40°; son angle en G vaut 180 – 60 – 80 = 40° => il est isocèle. Le quadrilatère ED'GE', formé d'un triangle équilatéral adjacent à un triangle isocèle est un cerf-volant. La droite passant par E'D' est un axe de symétrie qui coupe l'angle en E en deux parties égales. Or, l'angle en E' vaut 180 – 40 – 80 = 60° L'angle x vaut 30° et y = 180 – 70 – 30 = 80°.		En construisant la figure demandée (rouge) et sa symétrique (verte), la solution devient pratiquement évidente, en tout cas à l'œil.
Solution "presque" muette Elle consiste à dupliquer la figure pour faire apparaitre des symétries. Une simple remontée des valeurs des angles permet de trouver la valeur cherchée. Note personnelle Il me semble que cette solution est la plus simple. De plus, c'est celle qui vient à l'esprit généralement en premier tout autant que celle présentée ci-dessus, à peine plus laborieuse.

Triangle 20-80-80 et le cercle

Problème

Triangle isocèle ABC avec angle en B = 20°.

Segments: DA = DB.

Cercle de centre C et de rayon CA.

Démontrez que AE = DF

Idée

Comme nous l'avons vu, nous allons essayez de trouver des symétries pour remonter de AE vers DF (Figure du bas).

La construction du quadrilatère AEPF semble une bonne piste. A vue d'œil, c'est un trapèze isocèle. Pourvu que le triangle PDF soit isocèle et aurons gagné.

Résolution

Données

Construction

Suite	Triangle isocèle rectangle – Exemples Partage du carré en triangles isocèles Résolution du triangle isocèle Triangle – Index Triangle isocèle – Bissection Triangle isocèle – Intersections Triangle isocèle dans le carré Triangle isocèle de 45° au sommet Triangle isocèle et ovale Triangles isocèles et partage de l'hexagone Types de triangles
Voir	Allumettes et quatre triangles isocèles Angle Égalités des triangles Jeux – Index Probabilité d'obtenir un triangle obtusangle Quadrupler le triangle Résolution du triangle quelconque Symétries Triangle de Pythagore
Sites	Un calcul d'angle – Jean-Marie Lion – Université de Rennes 1 – Solution trigonométrique The 80-80-20 Triangle – Cut-the-knot – Alexander Bogomolny présente toutes les varaintes de ce problème. The 80-80-20 Triangle Problem – Cut-the-knot – Alexander Bogomolny présente douze solutions recueillies auprès de divers auteurs dont C. Knop Crookes & Monteith's Proof of a Classic Problem – Michael de Villiers – 2004 An intriguing Geometry Problem – Tom Rike – 2002 Word Hardest Easy Geometry Problem – Duckware – Solutions des deux variantes Special triangles – The University of Georgia
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