NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/10/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Construction à la main – Rapporteur >>> Construction de l'arpenteur >>> Construction avec GeoGebra et autres outils >>> Construction règle et compas, la plus connue >>> Cercle circonscrit et cercle inscrit >>> Construction: deux propriétés à connaitre >>> Méthodes de constructions – Nomenclature >>> Construction de l'œuf

PENTAGONE RÉGULIER – Constructions

Première page consacrée à la construction du pentagone régulier avec des outils informatiques. Les pages suivantes aborderont les différentes méthodes de constructions à la règle et au compas.

Construction à la main - Rapporteur
Dessiner un côté AB du pentagone à la longueur désirée. Avec un rapporteur centré sur le point A, dessinez une droite passant par la graduation 108. Faites la même chose à partir du point B. Ouvrir un compas d'un écartement égal à AB Dessinez le cercle de centre A qui coupe la droite bleue en E; dessinez le cercle de centre B qui coupe l'autre droite bleue en C. Intersection en D. Pentagone régulier: ABCDE

Construction de l'arpenteur
Principe Tracer les diagonales (pointillés bleus) qui mesurent environ 1,62 fois la longueur du côté. Approximation du nombre d'or: 1,61803398… Matériel Une corde avec une marque à 1 mètre et une autre à 1,62 m (ou respectant cette proportion). Construction Segment AB de longueur 1 (par exemple). Cercles en A et B de rayon 1,62. Intersection C. Cercles unités en A et B. Intersection D et E Le polygone ABCDE est un pentagone approché. Précision Le sommet en C se trouve à 0,002 m (2 mm) plus haut que pour le pentagone parfait. Précision largement suffisante en pratique; sinon prendre 1,618 pour obtenir un écart de 0,000035 (35 microns).	Pentagone quasi-régulier AC = BC = 1,62 AB

Construction avec GeoGebra et autres outils
Je rappelle que GeoGebra est un outil gratuit et simple à utiliser. Vous pouvez construire le pentagone comme pour la méthode manuelle à titre d'exercice. Mais, heureusement un tel logiciel permet la construction automatique de tout polygone régulier. L'illustration ci-dessous montre l'outil à utiliser:
Note: la plupart des logiciels comme Word offre la possibilité de tracer directement le pentagone.

Construction "règle et compas", la plus connue
Méthode dite de Ptolémée Un segment MN. Son milieu P et Q le milieu de PN. Cercle de centre P et de rayon PN. Un diamètre perpendiculaire à MN. Intersection avec le cercle en D. Cercle de centre Q et de rayon QD. Intersection en R avec MN. La longueur du segment DR est celle du côté du pentagone. Ouvrir le compas avec cet écartement et reporter cinq fois (quatre suffisent) cette longueur sur la circonférence du cercle. Pentagone régulier: ABCDE.

Voir Méthode expliquée, justifiée et variantes

Cercle circonscrit et cercle inscrit
Les perpendiculaires aux côtés issues des sommets se coupent toutes au centre. Il suffit d'en tracer deux pour désigner le point central. Notez que le point P est le même que celui utilisé pour la construction (ligne pointillée rose). Le point P est le centre du cercle circonscrit et également du cercle inscrit. Voir formules de calcul des rayons

Construction: deux propriétés clés de la construction du pentagone régulier
Construire la racine de 5, puis le nombre d'or Le nombre d'or (phi) est niché dans le pentagone: les diagonales mesurent phi fois la longueur du côté. Voir Construction géométrie des nombres / Construction dorée par Euclide	Théorème de Pythagore: (1 + 1)² + 1² = 5
Bissectrice des triangles isocèles Les diagonales trisèquent les angles au sommet: trois angles de 36°. Le pentagramme présente trois triangles isocèles d'or dont l'angle à la base (72°) est le double de l'angle au sommet (36°). Conséquence: une des diagonales bissecte l'angle à la base des triangles isocèles.

Voir Lignes trigonométriques de Pi/5

Méthodes de constructions du Pentagone régulier
Méthodes Consignes	Racine de 5*	Bissectrices	Cercles	Approchées
Inscrire le pentagone dans un cercle	0 – Euclide 1 – Ptolémée 2 – Deux carrés 3 – Nombre d'or	5 – Richmond 8 – Euclide	6 – Cercle tangent et droites 7 – Cercle tangent et cercles 8 – À partir d'un cercle 9 – Avec des cercles Mascheroni	Bion Partage du cercle
Côté du pentagone imposé**	4 – Carré central			A1) Dürer A2) Avec triangle A3) Étude originale

* Les autres méthodes utilisent souvent une construction de la racine de 5

**D'autres méthodes sont décrites sur la page de Patrice Debart en imposant la diagonale ou autres

Voir Une méthode originale par coïncidence de points

Voir Constructions élémentaires / Construction de l'icosagone

Construction de l'œuf
Construire d'abord deux pentagones et deux étoiles emboitées. Construire les arcs de cercle à partir des quatre centres indiqués.	Pour info construction plus classique de l'œuf Cercle (rose) de centre O de rayon R, puis de centre A et B avec un rayon 2R. Puis cercle (bleu) de centre P qui réunit les deux arcs.

Retour	Pentagone
Suite	Méthodes de constructions avec la racine de 5 Construction étonnante du pentagone Pentagone et nombre d'or Pentacle Pentagone sous toutes les coutures Construction approchée du pentagone par la méthode Bion
Voir	Constructible ? Construction de l'icosagone Étoile à 6 branches Étoile et nombre d'or – Approche Fleurs à 5 pétales Géométrie – Bases Géométrie – Index Nombre d'Or Polygones
DicoNombre	Nombre CINQ
Sites	Construire un pentagone régulier – Treize méthodes – Descartes et les Mathématiques – Patrice Debart Construction du pentagone régulier à la règle et au compas – Wikipédia Construction of Regular Pentagon by H. W. Richmond – Cut-the-knot – Alexander Bogomolny The construction, by Euclid, of the regular pentagon – Joao Bosco Pitombeira de Carvalho Approximate Construction of Regular Pentagon by A. Dürer – Cut-the-knot – Alexander Bogomolny Regular Pentagon Construction by K. Knop – Cut-the-knot – Alexander Bogomolny – Pas à pas sur GeoGebra Constructions of regular polygons A Study of the Regular Pentagon with a ClassicGeometric Approach – Amelia Carolina Sparavigna, Mauro Maria Baldi
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PentaCon.htm

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