NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 05/08/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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COMPTER OU DÉNOMBRER

la quantité des nombres entiers, rationnels ou réels

Rien de plus simple, il y en a toujours de plus grands. On se dirige vers l'infini. Oui mais, de là-bas vont surgir bien des surprises.

On utilisera deux procédés typiques:

Le procédé zigzag, et

La diagonale de Cantor.

NOMBRES ENTIERS
Entiers 0, 1, 2, 3, 4, …, 456 213, …	On peut choisir le plus grand nombre imaginable, il y en a toujours un plus grand.	Infinité
Entiers pairs 0, 2, 4, 6, …, 64204, …	On peut choisir le plus grand nombre imaginable, il y en a toujours un plus grand.	Infinité
Entiers impairs 1, 2, 3, 5, …, 64203, …	On peut choisir le plus grand nombre imaginable, il y en a toujours un plus grand.	Infinité
Entiers premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, …	On peut choisir le plus grand nombre imaginable, il y en a toujours un plus grand. Mais, ici, on ne peut pas simplement constater, il faut le démontrer.	Infinité
Factorielles 1!, 2!, 3!, …	À tout nombre entier, on peut lui associer sa factorielle: Fn = n!	Infinité
Nombres triangulaires 1, 3, 6, 10, …	À tout nombre entier, on peut associer un nombre triangulaire: Tn = n (n+1) / 2.	Infinité
Etc.

ALEPH – Cardinal de l'infini
Entiers	Il y en a une très grande collection. Une collection infinie. Sa taille (on dit son cardinal) est nommée: Aleph.
Entiers pairs	Il y a aussi une collection infinie de nombres pairs. Mais on peut donner un numéro à chacun. On dit que l'on peut appairer. Or, tous ces numéros forment la collection des nombres entiers. Les deux collections de nombres (simple, ou pair) forment le même type de collection. On dit que les deux ensembles sont équipotents.
Autres	Par le même raisonnement, on montre que toutes les collections d'entiers citées ci-dessus forment la même collection (le même ensemble). Ces collections de nombres sont toutes de la même famille des dénombrables. La cardinalité de ses ensembles est baptisée aleph zéro. Si on met un indice 0, c'est que bien sûr, on peut trouver d'autres collections différentes.

Correspondance un à un

Lorsque les éléments de deux ensembles peuvent être mis en correspondance terme à terme, on dit qu'ils sont en bijection.

étant l'ensemble des nombres entiers naturels, si tous les éléments d'un ensemble infini peuvent être mis en bijection avec , c'est un ensemble dénombrable. On aurait pu dire énumérable, mais pour les énumérer, il faudrait l'éternité!

Voir DicoMots Maths / Bijection

FRACTIONS ou nombres rationnels
Un nombre rationnel est représenté par une fraction. Quel que soit le nombre rationnel (ou la fraction) choisi, il y en a toujours un de plus grand.	Infinité
Une fraction est formée de deux nombres: numérateur et dénominateur. Chacun de ces nombres peut être choisi parmi la collection infinie des nombres entiers. C'est une sorte de double infini. Pourtant … Il est existe un procédé pour les trouver toutes, et leur attribuer un numéro. C'est le procédé zigzag.	Infinité Infinité
Or, tous ces numéros forment la collection des nombres entiers. Les deux collections de nombres (numéros et fractions) sont bien du même type. Bien que la fraction soit constituée de deux nombres, elle reste tout de même dans le domaine du dénombrable.
Les nombres algébriques, racines de polynômes à coefficients rationnels, constituent aussi un ensemble dénombrable.

Bilan

Il y a une infinité de nombres entiers et une infinité de nombres rationnels (fractions). Ce sont deux infinités de même type, dite dénombrable.

C'est le plus petit des ensembles infinis. Sa taille est appelée Aleph zéro ().

C'est le "nombre infini" des entiers.

C'est le cardinal de l'ensemble (entiers).

C'est le cardinal de l'ensemble (rationnels).

Voir Histoire de la notation / Ensembles de nombres

Arithmétique singulière

Si on ajoute 1 à une infinité, cela donne une infinité: ₀ + 1 = ₀

Si on ajoute une infinité à une infinité

(les pairs plus les impairs, par exemple): ₀ + ₀ = ₀

Voir L'hôtel de Hilbert / Arithmétique avec Aleph

NOMBRES RÉELS
Affirmation Il y a plus de nombres réels que de nombres rationnels. Il y en a une infinité non dénombrable. Principe de la démonstration
On fait l'hypothèse que l'on sait établir la liste de tous les nombres réels (nombres à virgule).	Infinité
On montre que ce n'est jamais fini en montrant que l'on peut toujours inventer des nombres qui ne sont pas dans la liste.	Encore plus
On conclut que les nombres réels ne sont pas dénombrables. On note la taille de ce nouvel ensemble:

Démonstration
Hypothèse Supposons que l'on soit capable de lister tous les nombres réels. Prenons par exemple tous ceux entre 0 et 1. Il y en a une infinité Les valeurs données à droite sont illustratives.	N1 = 0, 123… N2 = 0, 324… N3 = 0, 567… … Nn = 0, 754…a… …
Formation d'un nouveau nombre On va former un nombre N en choisissant les décimales une par une. La première décimale ne sera pas 1, comme dans le premier nombre; on choisit 2. On peut prendre n'importe lequel, sauf 1. La deuxième décimale ne sera pas 2, comme dans le 2^e nombre; on choisit 3. La deuxième décimale ne sera pas 7, comme dans le 3^e nombre; on choisit 8. La nième décimale ne sera pas a, comme dans le nième nombre; on choisit b.	N = 0, … N = 0, 2… N = 0, 23… N = 0, 238… N = 0, 238…b…
Nouveau nombre On vient de former un nombre. Or, on se souvient que l'on a listé tous les nombres réels. Ce nouveau nombre doit être dans la liste (c'est Nk , par exemple).	N = Nk
Oui, mais Analysons ce nombre, décimale par décimale. Il n'est pas N1 , car leur première décimale est différente. Il n'est pas N2 , car leur deuxième décimale est différente. Il n'est pas Nn , car leur nième décimale est différente.	k 1 k 2 k n
Conclusion Vous l'avez compris, le nombre N, n'est pas dans la liste du départ. On ne peut pas énumérer tous les nombres réels. Il s'agit d'une autre collection de nombres que celle des entiers ou des fractions.

Voir Diagonale de Cantor

Bilan

Il a au moins deux niveaux d'infinis:

0
Infini dénombrable	Infini non-nombrable
Nombres Entiers Nombres Rationnels	Nombres Réels Points sur la droite

Quelle est la différence entre ces deux types d'infinis ?

Est-ce qu'il y quelque chose au-delà ?

Et, entre les deux ? Quid de ₁ ?

Suite	Dénombrable et hypothèse du continu Transfinis Factorielles Voir en haut de page
Voir	Calcul mental Compter – Index Crises en maths Dénombrable et continu Diagonale de Cantor Factorielles Infini – Index Jeux – Index Les infinitésimaux Les nombres et leurs ensembles Magie – Index Méthode de Gauss, enfant Nombres rationnels
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