NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/02/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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FACTORISATION des FACTORIELLES

Méthode de factorisation.

En déduire quelques caractéristiques, comme la quantité de zéros à droite.

Approche
Formons la factorisation première des nombres factoriels.	2! = 1 . 2 3! = 1 . 2 . 3 4! = 1 . 2 . 3 . 4 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6	= 2 = 6 = 24 = 120 = 720	= 2 = 2 . 3 = 2^3 . 3 = 2^3 . 3 . 5 = 2^4 . 3^2 . 5
Examinons le cas de 6! Quel est l'exposant du facteur 2 On effectue les divisions indiquées Arrêt si le résultat est inférieur à 1 On prend les parties entières de ces résultats On les additionne	6/2 = 3 6/2^2 = 1,5 6/2^3 = 0,75	=> 3 => 1 => 0 = 4	4 est l'exposant du facteur 2
Même opération avec 3, le nombre premier immédiatement après 2	6/3 = 2 6/3^2 = 0,66	=> 2 => 0 = 2	2 est l'exposant du facteur 3
Et avec le 5, le nombre premier suivant Inutile d'aller plus loin avec le nombre premier 7, car la division donnera un résultat inférieur à 1	6/5 = 1 6/5^2 = 0,24	=> 1 => 0 = 1	1 est l'exposant du facteur 5

Théorème
Si n est un nombre entier supérieur ou égal à 1 et si p est un nombre premier, l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers est égal à = [ n/p] + [ n/p^2] + [ n/p^3] + [ n/p^4] + … Rappel de notation: Les crochets droits indiquent que l'on retient la partie entière du nombre. Exemple: [5,32] = 5

Exemple avec 10!, 00! et 1000!
Méthode directe	Application du théorème
10! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 = 2 . 3 . 2^2. 5 . 2.3 . 7 . 2^3 . 3^2 . 2.5 = 2^8 . 3^4 . 5^2 . 7 = 3 628 800	10/2 = 5 10/2^2 = 2,5 10/2^3 = 1,25	=> 5 => 2 => 1 = 8	2^8
	10/3 = 3,33 10/3^2 = 1,11	=> 3 => 1 = 4	3^4
	10/5 = 2	=> 2 = 2	5^2
	10/7 = 1,42	=> 1	7^1
	10/11 = 0,9	=> 0	Fin
Cas de 100 !	Exemple de calcul pour 2
100! = 2^97 . 3^48 . 5^24 . 7^16 .11^9 . 13^7 . 17^5 . 19^5 . 23^4 . 29^3 . 31^3 . 37^2 . 41^2 . 43^2 . 47^2 . 53 . 59 . 61 . 67 . 71 . 73 . 79 . 83 . 89 . 97	100/2 = 50 100/2^2 = 25 100/2^3 = 12,5 100/2^4 = 6,25 100/2^5 = 3,12 100/2^6 = 1,56 100/2^7 = 0,78	=> 50 => 25 => 12 => 6 => 3 => 1 => 0 = 97	2^97
Cas de 1000 !	Exemple de calcul pour 5
1000! => se termine par 249 zéros En effet, la puissance de 5 est 249 et combiné avec 249 fois le 2 (il y beaucoup plus de 2, bien sûr), le produit donne 10 (donc un zéro) à chaque fois.	1000/5 = 200 1000/5^2 = 40 1000/5^3 = 8 1000/5^4 = 1,6	=> 200 => 40 => 8 => 1 = 249	5^249

Divisibilité – Théorème
La factorielle d'un nombre n est divisible par le nombre immédiatement supérieur, s'il est composé et supérieur à 4.
n + 1 │ n! Avec n+1 > 4, composé
Exemple: 5! = 120 est divisible par le nombre composé 6
Explications
Avec 5, premier	(2 . 3 . 4) / 5	Impossible.
Avec 6 = 2 . 3	(2 . 3 . 4. 5) / 6	Les facteurs de 6 sont contenus dans la factorielle.
Avec 7, premier	(2 . 3 . 4 . 5 . 6) / 7	Impossible.
Avec 8 = 2 . 4	(2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7) / 8	Un produit de diviseurs donnant 8 est contenu dans la factorielle.
Avec 9 = 3 . 3	(2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8) / 9	La factorielle contient 9 dans ses facteurs.
Avec n+1	Composé	Il est toujours possible de trouver les facteurs du nombre composé dans la factorielle.

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