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Maximum avec TROIS
chiffres On dispose de trois fois le
même chiffre. Quelle est le plus grand nombre atteignable? Effet des
opérateurs classiques ou moins classiques. Exemples
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Avec les quatre opérations
arithmétiques classiques, quel est le plus grand nombre obtenu avec trois
chiffres identiques. |
1 + 1 + 1 =
3 9 + 9 + 9 = 27 1 x 1 x 1 =
1 9 x 9 x 9 = 729 |
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On peut faire beaucoup mieux avec les
opérations mathématiques comme Avec factorielle; de
belles possibilités Avec exponentielles;
aussi … |
9! = 362 880 99 = 387 420 489 |
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Une erreur classique Prétendre que 9^99 est plus grand que
9^9^9. Il est clair que 9^9 est plus grand que 99. Même en calculant à l'envers (de gauche à
droite), le nombre reste plus grand. |
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Il existe des notations
pour les grands nombres qui conduisent à des monstruosités de nombres. |
99
9 = incalculable |
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Cas de trois 9 en puissances |
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Ce grand nombre comporte 360 millions de
chiffres. Ce
nombre est impossible à calculer même avec les logiciels mathématiques du
marché. À raison
de 5 000 chiffres par pages, il faudrait un livre de 8 000 pages pour écrire
ce nombre. |
Pour calculer la quantité
de chiffres, on utilise le logarithme
décimal log (9^(9^9))
= 9^9 log(9) = 369693099, 63157035875
369 693 100 |
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Le
dernier chiffre est 9 |
99 = 387420489 C'est un entier impair Or 9 à la puissance
impaire donne 9 pour unité 93 = 429 95 = 59049 97 = 4782969 etc. En effet, soit un nombre
impair 2k+1 92k+1 = 92k
x 9 = 81k x 9
= (…. 1)k x 9 = ….9 |
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Les
premiers chiffres sont 42812477… |
Pour connaître les
premiers chiffres ayons à nouveau recours aux logarithmes Exprimé en logarithme,
nous savons que log (N) = 369693099, 63157035875 = 0, 63157035875 + 369693099 Quelle est la valeur de N? Refaisons le chemin
inverse en partant du logarithme et en calculant l'exponentielle, ici avec la
puissance 10 N = 10 (0 63157035875 +
369693099) N = 10 0,63157035875
x 10 369 693 099 N= 4,281247732
x 10 369 693 099 Vous reconnaissez la
notation scientifique de ce nombre N= 0,428 124 773 2… 10 369 693 100 N= 0,428 124 773 2 e 369 693 100 |
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Factorielles
avec des 9. Dans les limites des nombres à 100
millions de chiffres. |
9! = 362 880 99! = 0,933 10156 999! = 0,402 102565 99!
= 0,332 10346 276 999!
= 0,125 10724 177 (9!)! = 0,160 1018 59 934 (99)! =
? |
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Il
est évident que les factorielles placées derrière les expressions en puissances
augmentent encore considérablement les valeurs de ces puissances. |
Pas
de limite au plus grand nombre! Il suffit de mettre autant signes factoriels
que l'on veut. 9! = 362 880 9!! = ...Integer
too large for display... Même Maple jette déjà
l'éponge. |
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Voir Notation des très grands
nombres / Noms des grands
nombres
Au-delà …
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La
valeur déjà colossale de et
encore mieux: Certains mettent en avant la valeur infinie: |
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Ask someone to write the largest three digit number. No symbols and
characters allowed. |
They'll respond with 999. We can go bigger. Could be 999 ? No! A larger number does exits. |
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The correct answer is as shown. This number will have more than 360 million digits. |
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Voir |
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Aussi |
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