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FACTORIELLES et DÉNOMBREMENT |
Voir Principes du
dénombrement
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Avec n objets différents, combien de façons de les
poser les uns à côté des autres?
Avec 5 personnes, combien de façons de s'assoir sur un banc?
Avec 52 cartes, combien de paquets de cartes peut-on
former? |
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Avec
2 objets 2 possibilités |
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Avec
3 objets 6 possibilités 3 possibilités pour le 1er,
puis 2 possibilités pour le 2e,
et 1 seule possibilité pour le 3e.
P
= 3 x 2 x 1 = 3! = 6 |
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Avec
4 objets 24 possibilités 4 possibilités pour le 1er,
puis 3 possibilités pour le 2e,
et … P
= 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 Le graphe montre la logique de
construction des 6 permutations à partir du 1. Cela se reproduisant pour chacun des
quatre nombres. Soit 4 x 6 = 24 permutations au total. |
En changeant le premier nombre,
ce tableau se répète quatre fois. Un fois ce premier nombre
positionné, il y a trois possibilités pour le deuxième nombre, puis seulement
deux possibilités pour le troisième; le quatrième étant le nombre qui reste. |
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Voir Personnes
assises sur un banc ou autour d'une table ronde / Formes
permutées /
Groupe de permutation
/ Comment programmer les
permutations
Permutations
dans le désordre (dérangement)
Permutations – Index
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Nous savons permuter
(mélanger) les cartes, maintenant nous en prenons quelques unes, l'une
après l'autre, dans l'ordre. Nous nous retrouvons devant combien de
possibilités?
La même logique s'applique. Prenons 3 objets parmi 10 objets différents ·
nous avons le choix parmi 10 pour la 1ère ·
puis un choix parmi 9 pour la 2e ·
et enfin, un choix parmi 8 pour la 3e ·
Bilan: A = 10 x 9 x 8 = 720 ·
Notons que le dernier chiffre est 8 = 10 – 3 + 1 ·
Une permutation est
donc un arrangement complet: de toutes les
cartes parmi toutes les cartes. ·
Avec un arrangement,
il y a (n – p) fois moins de cas que pour une permutation. |
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Permutations
de
n objets |
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Arrangement
de p objets parmi n |
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Voir SUITE
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Et si nous abandonnions l'ordre des objets? ·
Nous puisons 3 objets dans le sac de 10 objets
différents. Combien de possibilités, quel que soit l'ordre d'arrivée des
objets ? ·
Considérons tous les arrangements possibles. Nous en
avons un certain nombre qui répondent à notre besoin. Ce sont tous les cas où
les 3 objets sont finalement les mêmes. Ce sont toutes les permutations de
ces 3 objets, soit 3! = 6 cas. ·
Au bilan parmi tous les arrangements de 3 parmi 10,
nous supprimons tous les cas comportant les 3 mêmes objets. |
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Combinaisons de
n objets |
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Voir SUITE
Exemples |
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Valeurs
pour n de 3 à 10 et p de 3 à 5 Lecture:
avec n
= 6 objets, il y a 720 permutations (P); 120 arrangements (A) de p = 3 objets, 360 avec p = 4 et
720 avec p = 5; 20 combinaisons
(C) de p = 3 objets, 15 avec p = 4 et 6 avec p = 5. Exemples
divers : |
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La quantité de combinaisons (colonnes C du tableau
ci-dessus) est donnée directement par le triangle
arithmétique de Pascal. |
Suite |
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Voir |
· Compter les nombres ·
Compter /
dénombrer – Index ·
Loto ·
Permutations
– Index |
Diconombre |
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Site |
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Analyse combinatoire
de Jean-Michel Jolion (INSA) |
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