NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 15/12/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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INDEX Compter Dénombrer	Index factorielle	Somme	Somme des inverses	Différence
		Produit	Factorielle = somme	Quotient
		Sommaire de cette page >>> Somme cumulée des factorielles >>> Somme et différence de factorielles proches >>> identités en somme et différences >>> Relation sympathique

Sommes et Différences

de FACTORIELLES

Valeur des sommes cumulées des factorielles. Parfois notée !!n (!!4 = 0! + 1! + 2! + 3! = 10)

Somme de factorielles consécutives ou proches. Possibilité de mise en facteurs et de mise en évidence de formules simples.

Factorielle et exponentielle

Voir Valeurs de e (Newton) / Une application: compter les trajets

SOMME cumulée des factorielles
Idem avec valeur des factorielles jusqu'à 16

Voir Nombre 13 / Nombre 313 / Nombre 5 913

Sommes et différences de factorielles proches
Identités avec des factorielles. Que vaut la somme de deux factorielles consécutives? ou proches?
(n + 1)! + n! = (n + 1) n! + n! = (n + 2) n!	2 + 1 = 3 = 3 x 1 6 + 2 = 8 = 4 x 2 24 + 6 = 30 = 5 x 6 120 + 24 = 144 = 6 x 24 720 + 120 = 840 = 7 x 120
(n + 2)! + n! = (n + 2) (n + 1) n! + n! = (n² + 3n + 3) n!	6 + 1 = 7 = 7 x 1 24 + 2 = 26 = 13 x 2 120 + 6 = 126 = 21 x 6 720 + 24 = 744 = 31 x 24 5 040 + 120 = 5 160 = 43 x 120
(n + 1)! – n! = (n + 1) n! – n! = n. n!	2 – 1 = 1 6 – 2 = 4 = 2 x 2 24 – 6 = 18 = 3 x 6 120 – 24 = 96 = 4 x 24 720 – 120 = 600 = 5 x 120
(n + 2)! – n! = (n + 2) (n + 1) n! – n! = (n² + 3n + 1) n!	6 - 1 = 5 = 5 x 1 24 – 2 = 22 = 11 x 2 120 – 6 = 114 = 19 x 6 720 – 24 = 696 = 29 x 24 5 040 – 120 = 4 920 = 41 x 120
Somme ou différence entre deux factorielles	(n + k)! + n! = (A + 1) . n! (n + k)! – n! = (A – 1) . n! avec

Identités Sommes – Différences

Voir Identités

Une relation sympathique!

Relations (n + 1)! – 1 = 1x1! + 2x2! + 3x3! + ...+ n.n! Exemple 1x1! + 2x2! + 3x3! + 4x4! = 1 + 2x2 + 3x6 + 4x24 = 1 + 4 + 18 + 96 = 119 Or, (4 + 1)! – 1 = 120 – 1 = 119 Démonstration Ce que l'on ajoute sur la ligne 2 est soustrait en ligne 3. Là est l'intuition astucieuse pour effectuer cette démonstration.  Ligne 4 = ligne 2, en calculant n(n – 1)! = n! Ligne 6 = bilan des lignes 4 et 5, en constatant que les termes sur une diagonale descendante s'annulent.

Formule de Ramanujan produite en 1936 par Hardy

Voir Ramanujan / Hardy

Source: Le comptable indien

Suite	Somme des inverses des factorielles Somme alternée des factorielles Sous-factorielles Voir haut de page
Voir	Addition Coefficient du binôme Factorielles divisées Jeux de chiffres Loto n! + 1 = a² (Brocard) Programmation du calcul des factorielles Soustraction Théorie des nombres – Index
Site	Factorial Sums – Wolfram MathWorld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/Factsome.htm