NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Somme

Somme des inverses

Différence

Produit

Factorielle  = somme

Quotient

 

Sommaire de cette page

>>> Somme cumulée des factorielles

>>> Somme et différence de factorielles proches

>>> identités en somme et différences

>>> Relation sympathique

 

 

 

 

Sommes et Différences 

de FACTORIELLES

 

Valeur des sommes cumulées des factorielles. Parfois notée !!n (!!4 = 0! + 1! + 2! + 3! = 10)

Somme de factorielles consécutives ou proches. Possibilité de mise en facteurs et de mise en évidence de formules simples.

 

 

Factorielle et exponentielle

Voir Valeurs de e (Newton) / Une application: compter les trajets

 

 

 

SOMME cumulée des factorielles

 

 

Idem avec valeur des factorielles jusqu'à 16

 

Voir Nombre 13 / Nombre 313 / Nombre 5 913

 

 

 

 

Sommes et différences

de factorielles proches

Identités avec des factorielles.

Que vaut la somme de deux factorielles consécutives? ou proches?

 

(n + 1)! + n!

= (n + 1) n! + n!

=  (n + 2) n!

 

 

    2 +    1 =     3 = 3 x 1

    6 +    2 =     8 = 4 x 2

  24 +    6 =   30 = 5 x 6

120 +   24 = 144 = 6 x 24

720 + 120 = 840 = 7 x 120

(n + 2)! + n!

= (n + 2) (n + 1) n! + n!

= (n² + 3n + 3) n!

 

       6 +   1 =        7 =   7 x 1

     24 +   2 =      26 = 13 x 2

   120 +    6 =     126 = 21 x 6

   720 +  24 =    744 = 31 x 24

5 040 + 120 = 5 160 = 43 x 120

 

(n + 1)! – n!

= (n + 1) n! – n!

=  n. n!

 

 

    2 –    1 =     1

    6 –    2 =    4  = 2 x 2

  24 –    6 =   18  = 3 x 6

120 –   24 =   96 = 4 x 24

720 – 120 = 600 = 5 x 120

(n + 2)! – n!

= (n + 2) (n + 1) n! – n!

= (n² + 3n + 1) n!

 

       6 -   1 =        5 =    5 x  1

     24 –   2 =      22 =  11 x  2

   120 –    6 =     114 =  19 x 6

   720 –  24 =    696 = 29 x 24

5 040 – 120 = 4 920 = 41 x 120

Somme ou différence entre deux factorielles

(n + k)! + n! = (A + 1) . n!

(n + k)! – n! = (A – 1) . n!

avec

 

 

Identités Sommes – Différences

 

Voir Identités

 

 

Une relation sympathique!

 

Relations

(n + 1)! – 1

= 1x1! + 2x2! + 3x3! + ...+ n.n!

 

Exemple

1x1! + 2x2! + 3x3! + 4x4! =

   1 + 2x2 + 3x6 + 4x24 =

     1 + 4 + 18 + 96            = 119

Or, (4 + 1)! – 1 = 120 – 1 = 119

 

Démonstration

Ce que l'on ajoute sur la ligne 2 est soustrait en ligne 3. Là est l'intuition astucieuse pour effectuer cette démonstration. 

Ligne 4 = ligne 2, en calculant n(n – 1)! = n!

Ligne 6 = bilan des lignes 4 et 5, en constatant que les termes sur une diagonale descendante s'annulent.

 

 

Formule de Ramanujan produite en 1936 par Hardy

Voir Ramanujan / Hardy

Source: Le comptable indien

 

 

 

 

Suite

*         Somme  des inverses des factorielles

*         Somme alternée des factorielles

*         Sous-factorielles

*         Voir haut de page

Voir

*         Addition

*         Coefficient du binôme

*         Factorielles divisées

*         Jeux de chiffres

*         Loto

*         n! + 1 = a² (Brocard)

*         Programmation du calcul des factorielles

*         Soustraction

*         Théorie des nombresIndex

Site

*         Factorial Sums – Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/Factsome.htm