Nombres premiers - factorielle et primorielle

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/07/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Factorielles, Multifactorielles & Primorielles >>> Primorielles en +1

Factorielle, multifactorielles et primorielles
FACTORIELLE	FACTORIELLE PREMIÈRE
Définition n ! = 1 x 2 x 3x…x n >>>	Deux possibilités F = n ! + 1 F = n ! – 1 >>>
Exemples 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6	n! + 1 est premier pour n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477 (4042 chiffres) n! – 1 est premier pour n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610 (11277 chiffres) Le plus grand connu en 2011: 150209! + 1 (> 700 000 chiffres). Liste de factorielles record >>>

MULTIFACTORIELLE

MULTIFACTORIELLE PREMIÈRE

Double, Triple …

n ! = (n)(n-1)(n-2)…(1)

n!! = (n)(n-2)(n-4)…(1 ou 2)

n!!! = (n)(n-3)(n-6)…(1,2 ou 3)

Etc.

>>>

Deux possibilités

F = n !...! + 1

F = n !...! – 1

>>>

Exemples

7! = 5040

7!! = 105

7!!! = 28

7!!!! = 21

7!!!!! = 14

n! + 1 est premier pour

n = 6 6!!! + 1 = 19

n! – 1 est premier pour

n = 6 6!! – 1 = 47

PRIMORIELLE

PRIMORIELLE PREMIÈRE

Double, Triple …

p# = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x ... p

(p étant premier)

>>>

Deux possibilités

P = p # + 1

P = p # – 1

>>>

Exemples

3# = 2 x 3 = 6,

5# = 2 x 3 x 5 = 30,

13# = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13
= 30030

p # + 1 est premier pour

p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029 (10387 chiffres)

p # – 1 est premier pour

p = 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877 (6845 chiffres)

Le plus grand connu en 2012:
1 098 133# – 1 (> 470 000 chiffres)

Liste de primorielles record >>>

PRIMORIELLE plus UN – Nombre d'Euclide
Affirmation M_k = p₁ . p₂ …. p_k + 1 est un nombre premier ? Oups! Pas toujours, pas souvent. Observations
Premiers	M₁ = M₂ = M₃ = M₄ = M₅ =	3 7 31 211 2 311
Non premiers	M₆ = M₇ = M₈ = M₉ = M₁₀ =	59 x 509 19 x 97 x 277 347 x 27 953 317 x 703 763 331 x 571 x 34 231
Premiers suivants jusqu'à 1000	pour 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643

Voir Euclide

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