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Édition du: 16/05/2025 |
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INDEX |
DÉNOMBREMENT Études de cas |
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Faites
un double-clic pour un retour en haut de
page
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Finales et matchs nationaux Plusieurs équipes de football s'affrontent. Des
équipes françaises sont en lice. |
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Sommaire de cette page >>> Tableau des probabilités Fr-Fr >>> Dénombrement pour N = 4 et E = 2 >>> Dénombrement pour N = 6 et E = 2 >>> Dénombrement pour N = 6 et E = 3 >>> Dénombrement pour N = 10 et E = 3 >>> Formule de calcul >>> Exemples de listes de matchs |
Débutants Glossaire |
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Tableau
de la probabilité qu'au moins une équipe franco-française joue ensemble Sachant qu'il y a N équipes
dont E équipes françaises. On donne:
Exemple Avec 8 équipes
alignées pour le tournoi dont 4 françaises, il y a 105 possibilités de
matchs. La probabilité d'un
match franco-français, au moins, est égale à 81 / 105 = 0,77 = 77% |
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Comment
s'y prendre pour calculer ce tableau ? Méthode 1: s'intéresser aux matchs Fr-Fr. Le
dénombrement est relativement facile et le résultat fonctionne dans les cas
simples, mais se met vite à dérailler. Méthode 2, la plus classique en calcul de
probabilité, compter les cas opposés: dénombrer les matchs mixtes, aucun
français ne joue contre un français. C'est
la méthode adoptée ici. |
Merci à
Christophe pour ses précieuses remarques à l'origine de la refonte de cette
page
Types de matchs
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Où
l'on verra qu'il faut distinguer trois types de matchs
La manière de
décompter ces matchs est particulière à chaque type. |
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Exemple simple: quatre équipes dont
deux françaises On note les équipes françaises avec des nombre et les équipes étrangères avec des lettres. On examine les équipes françaises l'une après
l'autre. Seules possibilités de matchs mixtes pour l'équipe
1: affronter l'équipe A ou l'équipe B. Pour chacun de ces deux cas, l'équipe française
2, ne pourra jouer qu'avec l'équipe restante B ou A. |
Principe du décompte
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Exemple du même type Cette fois, nous avons deux équipes françaises (1
et 2) et quatre étrangères (A, B, C et D). L'équipe 1 affronte l'une des 4 étrangères. L'équipe 2 affronte l'une des trois équipes
étrangères restantes. Les deux équipes étrangères restantes
s'affrontent entre elles. Bilan: 4 × 3 = 12 matchs mixtes |
Principe du décompte
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Dénombrement des matchs possibles Nous comptons tous les matchs, y compris les
matchs entre Français. L'équipe 1 fait face à 5 équipes possibles. Alors, reste quatre équipes. Par exemple ayant le
match 12, l'équipe A pour jouer face à 3 équipes. Les deux équipes restantes jouent entre elles. Bilan: 5 × 3 × 1 = 15 matchs |
Tous les matchs possibles
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Notez que le produit trouvé est le produit des
nombres impairs successifs inférieurs à N, appelée factorielle
double impaire et notée: n!! |
Total(N) = (N – 1) !! Liste pour 0, 2, 4, 6, 8, … (n-1)!! = {1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, 2027025,
34459425, 654729075, 13749310575} |
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Probabilité La probabilité d'une rencontre franco-française
est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas
possibles. |
Il y a une chance sur 5 qu'un match
franco-français se produise en mettant 2 équipes françaises en face de 4
équipes étrangères. |
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Passons à trois équipes françaises Le principe du décompte est maintenant connu. Dans le cas de 3 équipes françaises et trois
équipes étrangères, il y a 6 possibilités de matchs mixtes. |
Principe du décompte
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Attention, piège ! Les étrangers jouent aussi entre eux. Le décompte se fait comme ci-dessus pour les
trois équipes françaises. Ce qui conduit à 7 × 6 × 5 = 210 matchs. Le produit est une factorielle
tronquée partant de la quantité d'équipes mixtes (7) et pour 3 termes, la
quantité d'équipes françaises. Restent quatre équipes à faire jouer. Pour ces équipes étrangères, toutes les
possibilités sont permises. On identifie les 3 matchs possibles sur le
tableau en distinguant les paires (majuscules et minuscules). On connait aussi la formule avec les factorielles
doubles: Bilan: 210 × 3 = 630 matchs mixtes |
Principe du décompte
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Outils Nous avons besoin de deux outils de calculs:
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Établissement de la formule N équipes dont E équipes françaises, Calcul successifs
En déduire, par différence, la quantité de matchs
entre Français et calculer la probabilité de ces matchs. |
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Procédé de calcul et exemples
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6 équipes dont 3 françaises |
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15 matchs possibles (en rouge Franco-Français) |
dont 6 France-Étranger |
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{{1, 2}, {3, A}, {B,
C}}, {{1, 2}, {3, B}, {A,
C}}, {{1, 2}, {3, C}, {A,
B}}, {{1, 3}, {2, A}, {B,
C}}, {{1, 3}, {2, B}, {A,
C}}, {{1, 3}, {2, C}, {A,
B}}, {{1, A}, {2, 3}, {B,
C}}, {{1, A}, {2, B}, {3, C}}, {{1, A}, {2, C}, {3, B}}, {{1, B}, {2, 3}, {A,
C}}, {{1, B}, {2, A}, {3, C}}, {{1, B}, {2, C}, {3, A}}, {{1, C}, {2, 3}, {A,
B}}, {{1, C}, {2, A}, {3, B}}, {{1, C}, {2, B}, {3, A}} |
{{1, A}, {2, B}, {3, C}}, {{1, A}, {2, C}, {3, B}}, {{1, B}, {2, A}, {3, C}}, {{1, B}, {2, C}, {3, A}}, {{1, C}, {2, A}, {3, B}}, {{1, C}, {2, B}, {3, A}} |
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8 équipes dont 3 françaises |
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105 matchs possibles (en rouge Franco-Français) |
dont 60 France-Étranger |
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{{1, 2}, {3, A}, {B, C}, {D, E}}, {{1, 2}, {3, A}, {B, D}, {C, E}}, {{1, 2}, {3, A}, {B, E}, {C, D}}, {{1, 2}, {3, B}, {A, C}, {D, E}}, {{1, 2}, {3, B}, {A, D}, {C, E}}, {{1, 2}, {3, B}, {A, E}, {C, D}}, {{1, 2}, {3, C}, {A, B}, {D, E}}, {{1, 2}, {3, C}, {A, D}, {B, E}}, {{1, 2}, {3, C}, {A, E}, {B, D}}, {{1, 2}, {3, D}, {A, B}, {C, E}}, {{1, 2}, {3, D}, {A, C}, {B, E}}, {{1, 2}, {3, D}, {A, E}, {B, C}}, {{1, 2}, {3, E}, {A, B}, {C, D}}, {{1, 2}, {3, E}, {A, C}, {B, D}}, {{1, 2}, {3, E}, {A, D}, {B, C}}, {{1, 3}, {2, A}, {B, C}, {D, E}}, {{1, 3}, {2, A}, {B, D}, {C, E}}, {{1, 3}, {2, A}, {B, E}, {C, D}}, {{1, 3}, {2, B}, {A, C}, {D, E}}, {{1, 3}, {2, B}, {A, D}, {C, E}}, {{1, 3}, {2, B}, {A, E}, {C, D}}, {{1, 3}, {2, C}, {A, B}, {D, E}}, {{1, 3}, {2, C}, {A, D}, {B, E}}, {{1, 3}, {2, C}, {A, E}, {B, D}}, {{1, 3}, {2, D}, {A, B}, {C, E}}, {{1, 3}, {2, D}, {A, C}, {B, E}}, {{1, 3}, {2, D}, {A, E}, {B, C}}, {{1, 3}, {2, E}, {A, B}, {C, D}}, {{1, 3}, {2, E}, {A, C}, {B, D}}, {{1, 3}, {2, E}, {A, D}, {B, C}}, {{1, A}, {2, 3}, {B, C}, {D, E}}, {{1, A}, {2, 3}, {B, D}, {C, E}}, {{1, A}, {2, 3}, {B, E}, {C, D}}, {{1,
A}, {2, B}, {3, C}, {D, E}}, {{1,
A}, {2, B}, {3, D}, {C, E}}, {{1,
A}, {2, B}, {3, E}, {C, D}}, {{1,
A}, {2, C}, {3, B}, {D, E}}, {{1,
A}, {2, C}, {3, D}, {B, E}}, {{1,
A}, {2, C}, {3, E}, {B, D}}, {{1,
A}, {2, D}, {3, B}, {C, E}}, {{1,
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{3, C}, {D, E}}, {{1, A}, {2, B},
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