divisibilité et curiosités

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DIVISIBILITÉ & CURIOSITÉS

Divisibilité d'un produit par la somme de ses termes. Comme:

Ce type de fraction – factorielle 3 divisée par la somme de ses termes – égale à 1 est unique.

Question: peut-on en trouver d'autres avec un nombre entier comme quotient?

Voir Nombre entier / quotient / consécutifs

SOMME et PRODUIT des nombres consécutifs de 1 à n
SOMME	PRODUIT
La somme des nombres successifs se calcule facilement avec un produit 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5 x 6 / 2 = 15 Et, plus généralement, somme des nombres jusqu'à n: S = (n+1) n / 2	Le produit des nombres successifs est appelé factorielle 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 Et, plus généralement n! = n (n-1) (n-2) … 2 x 1
Dans cet exemple, la factorielle est divisible par la somme de ses termes. Le nombre factoriel sur somme est donné par cette formule: Est-ce souvent le cas? Voici les premiers cas: ; ; ; ; ; ; … Liste des valeurs de n avec somme qui divise la factorielle: 1, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 80, 81, 83, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, … Soit 76 valeurs sur 100.

OBSERVATIONS

Essayons de comprendre ce qui se passe.

Prenons les premiers cas: on compare la somme (formule) et les facteurs de la factorielle

n	Somme		Factorielle et facteurs de la somme (en rouge)
1	1x2 /2 =	1	1
2	2x3 /2 =	3	1 x 2
3	3x4 /2 =	3 x 2	1 x 2 x 3
4	4x5 /2 =	2 x 5	1 x 2 x 3 x 4
5	5x6 /2 =	5 x 3	1 x 2 x 3 x 4 x 5
6	6x7 /2 =	3 x 7	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
7	7x8 /2 =	7 x 4	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
8	8x9 /2 =	4 x 9	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8
9	9x10 /2 =	9 x 5	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9
10	10x11 /2 =	5 x 11	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10
11	11x12 /2 =	11 x 6	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11
12	12x13 /2 =	6 x 13	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12
13	13x14 /2 =	13 x 7	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13
14	14x15 /2 =	7 x 15	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14
15	15x16 /2 =	15 x 8	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15
16	16x17 /2 =	8 x 17	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16
17	17x18 /2 =	17 x 9	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17
18	18x19 /2 =	9 x 19	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18
19	19x20 /2 =	19 x 10	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x 19
20	20x21 /2 =	10 x 21	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x 19 x 20

En rouge les facteurs communs d'une manière ou d'une autre.

Les lignes en bleu indiquent les cas où la somme divise la factorielle.
Les lignes en vert montrent les cas où la somme ne divise pas la factorielle.

Observation

Si n est un nombre premier (parmi les rouges en bout de ligne), la ligne précédente est un cas de non-divisibilité. On induit que:

La somme ne divise pas la factorielle si n+1 est un nombre premier impair.

EXPLICATIONS

Lorsque dans la formule de la somme le nombre (n+1) est un nombre premier pair, en fait 2.

(1 x 2 ) / (1 + 2) = 2/3

La somme ne divise pas la factorielle.

Lorsque dans la formule le nombre (n+1) est un nombre premier impair.

Évidemment, on ne le retrouve pas dans les facteurs de la factorielle de n.

La somme ne peut pas diviser la factorielle.

D'accord, mais dans les autres cas ?

Si n+1 n'est pas premier

Il est composé (Lapalisse).

Ses facteurs se trouvent dans la liste des facteurs de la factorielle

Quant à l'autre terme n, c'est le dernier terme de la factorielle

On remarque également que les facteurs nécessaires à la décomposition de n+1 ne sont pas n

Tous les facteurs de la somme sont dans la factorielle

La somme divise toujours la factorielle

Vous remarquerez que nous n'avons pas utilisé le facteur 2 final de la formule. Ce qui veut dire que le rapport "factorielle sur somme" sera toujours un nombre pair.

Bilan

La somme des nombres de 1 à n divise factorielle n

- sauf lorsque n+1 est un nombre premier impair -

et, le rapport est pair.

Factorielles tronquées
Les deux ou trois premiers cas pour un départ de la factorielle tronquée de 2 à 10.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Bilan

On notera la superbe relation:

Basée sur la propriété unique:

Voir Pépites

Calcul mental

Comment calculer simplement

La somme de ces trois nombres est égale à trois fois le terme moyen

4 + 5 + 6 = 3 x 5 = 15

Le produit se calcule avec la remarque suivante

(n – 1) n (n + 1) = n (n² – 1) = n³ – n

Il suffit donc de prendre le cube du facteur central et d'y retrancher ce terme:

4 x 5 x 6 = 5³ – 5 = 125 – 5 = 120

En résumé, une telle fraction s'écrit:

Expression qui montre que le calcul mental s'en trouve encore grandement simplifié.

Valable quelle que soit la progression

Règle pratique:

Faire le produit des extrêmes et diviser par 3.

Voir Calcul mental / Divisibilité de trois nombres consécutifs / Consécutifs

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