NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Puissances

 

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sur les puissances

 

Glossaire

Puissances

 

 

Rubrique

PARTITION

 

INDEX PUISSANCES

 

Somme de puissances

Carré somme de cubes

Th de Pythagore

Th de Fermat-Wiles

Démonstration du théorème

Fermat pour n = 4  (démonstration)

Fermat pour  n = 3 (démonstration)

http://s1.lemde.fr/image/2013/05/14/534x0/3198804_5_1316_timbre-francais-a-l-effigie-de-pierre-de_c14c113f0f0d0d5d903ad0e4aff4c481.jpg

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Théorème de Fermat – Wiles

>>> Fermat et les Simpsons

>>> Historique

>>> Wieferich

>>> Démonstration - Principe

>>> Généralisation

>>> Amusement

 

 

 

 

 

 

Grand théorème de Fermat

ou

Dernier Théorème de Fermat

devenu

THÉORÈME DE FERMAT-WILES

aussi

Théorème de Fermat – Wiles – Taylor

Zn = Xn + Yn

 

PUISSANCE = SOMME DE 2 PUISSANCES

IMPOSSIBLE, sauf pour les carrés

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere: Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.  (Or il est juste de diviser un cube en deux cubes, ou un carré-carré en deux carrés-carrés, et en général pas de pouvoir à l'infini au-delà du carré en deux du même nom. Bien sûr, j’ai découvert une merveilleuse démonstration mais la marge trop petite ne la contiendrait pas.)

 

*  Fermat dit qu'il en a la preuve. Ce qui est extrêmement peu probable.

*  La démonstration pour de nombreuses valeurs particulières de n existe.

*  Mais, nombreux sont ceux qui se sont attaqués à la démonstration générale, en vain.

*  Wiles a réussi (1993), mais avec l'arsenal des outils mathématiques les plus avancés d'aujourd'hui.

*   Sa démonstration fait des incursions dans diverses rubriques très pointues des mathématiques modernes,.

Anglais:   Fermat's Last Theorem (FLT)

 

 

 

APPROCHE

 

Pythagore: puissance 2

*      Le triplet de Pythagore le plus célèbre:

                             +                                    =                      

 

 

*      Il existe une infinité de triplets de Pythagore.

 

Fermat : puissance 3 et au-delà

*      Tentons notre chance!

            63               +               83                    =             93 – 1

          216              +             512                   =           729 – 1

 

*      Oui, mais raté … à un près!

*      Il n'existe pas de cas Fermat pour la puissance 3, comme pour toutes les autres plus grandes.

 

*      Autre cas célèbre: 93 + 103 = 1729 et 1728 = 123.  Voir Nombres Taxicab

 

 

 

 

THÉORÈME DE FERMAT – WILES

 

Puissances 3, 4 …

X3 + Y3 = Z3

X4 + Y4 = Z4

Etc.

Aucune solution (Voir démonstration)

 

 

La relation exprimée simplement:

 

Xn + Yn = Zn

N'A AUCUNE solution en nombres entiers pour n > 2.

 

 

Formulation précise

 

Si n est un entier supérieur à 2, l'équation

Xn + Yn = Zn

n'a pas de solution, avec X, Y, Z entiers non nuls

 

Formulation mathématique

 

Pour tout n > 2

 

n'a pas de solution pour

 

 

Exemples

 

*      Pour n = 2 : il s'agit des triplets de Pythagore.

Exemple : 3² + 4² = 5²

*      Pour n = 3 : on peut donner

13 + 13 = ( 32 )3 , mais 32 = 1,259… n'est pas un entier

 

 

 

Fermat et les SIMPSONS: 1 78212 + 1 84112 = 1 92212

 

Curiosité

Une égalité qui contredit le théorème de Fermat proposée par les Simpsons.

Où est la supercherie?

 

Calcul – C'est pourtant vrai …

Prendre votre calculette  avec dix chiffres significatifs et faites:

A + B =  1 78212 + 1 84112  et S = 1 92212

A = 1,025397835 e+39  (e+39 veut dire 1039)

B = 1,5158124229 e+39

A + B = 2,541210259 e+39

      S = 2,541210259 e+39

Ainsi:   1 78212 + 1 84112 = 1 92212

 

Explications – Finalement non!

Avec la calculette de votre ordinateur (ou même sur Google: tapez simplement 1782^12 dans la fenêtre de recherche et vous aurez le résultat immédiat).

A = 1,0253978356226336348075504629482e+39

B = 1,5158124229919555414811194951942e+39

A + B = 2,5412102586145891762886699581424e+39

      S = 2,5412102593148014108192786496437e+39

S – (A+B) = 0, 700 212 234 530 608 691 501 223 040 959e+30

La somme est presque juste. La différence est pourtant un nombre comportant 30 chiffres.

L'égalité est en fait:

1 78212 + 1 84112  = 1921,99999995586…12

Pour information A + B compte six facteurs:

A + B = 409 x 4793 x 7793 x 577513 x 17960641 x 16036943149450969

 

Un autre exemple des Simpsons tout aussi faux

3 98712 + 4 36512 = 4 47212

cette somme vaut en fait:

4472,000000007059290…12

 

Supercherie révélée  immédiatement avec la théorie des nombres

 

Explication 1: la parité d'un nombre élevé à une puissance est conservée.

*    Dans le premier cas: 1 78212 + 1 84112  = 1 92212 on a P + I = P ce qui est impossible.

*    Dans le second cas:  3 98712 + 4 36512 = 4 47212 on a I + I = P ce qui est possible.

 

Explication 2: divisibilité par 3 (qui est conservée lorsqu'on élève à une puissance).

Pour le deuxième exemple, les deux premiers termes sont divisibles par 3 alors que celui de la somme ne l'est pas. L'égalité ne peut pas tenir.

 

Voir Les nombres en 8000 par les Simpsons / Bender et Flexo les robots de Futurama

 

 

 

 

 

 

HISTORIQUE – Chronologie

1637

Pierre de Fermat

*    Il annote l'Arithmetica de Diophante , traduction de Bachet.

*    pas de cubes, pas plus que de puissances quelconques qui satisfassent l'équation.

*    j'ai une démonstration merveilleuse, mais la marge est trop étroite pour la contenir.

1670

Clément Samuel

fils de Fermat

*    Publication de l'Arithmetica de Diophante avec les observations de Fermat.

1753

Euler

*    Preuve pour n = 3, avec une erreur  récupérable en lisant d'autres démonstrations d'Euler.

vers 1800

Sophie Germain

Legendre

*    Pas de solution jusqu’à x, y et z divisibles par n jusqu'à 100.

*    Extension jusqu'à 197.

1825

1832

Dirichlet

*    Prouve le cas n = 5.

*    Prouve le cas n = 14.

1839

1847

Gabriel Lamé

*    Prouve le cas n = 7.

*    Prétend avoir trouvé la solution complète.

 

Prix Wolfskehl

 

Paul Wolfskehl, mathématicien né en 1856 à Darmstadt, promet une récompense à quiconque pourrait retrouver la preuve de Fermat (environ un million d'euros, mais devenu 30 000 euros pour Wiles du fait de l'inflation en Allemagne après la première guerre mondiale). Pourquoi cette générosité? La raison est controversée.

Est-ce l’attachement de Wolfskehl à une mystérieuse jeune femme, jamais identifiée. La femme le repoussa. De désespoir, il décida de se suicider d'une balle dans la tête à minuit pile. En attendant, il se rendit dans sa bibliothèque et commença à feuilleter des documents de mathématiques.

Il tombe sur le travail d'Ernst Kummer (1810-1893), qui avait  démontré qu'il y avait une erreur dans la preuve du dernier théorème d'Augustin Cauchy (1789-1857). Piqué au vif, il tente de prouver que Kummer avait tort et que la preuve de Cauchy nécessitait simplement une légère mise au point. Il travaille jusqu'à l'aube pour constater que Kummer avait bel et bien raison. La conjecture de Fermat résiste.

Le délai de minuit est passé! Wolfskehl est tellement enthousiasmé par les mathématiques qu'il abandonne l'idée du suicide et décide de créer le fameux prix.

Une autre source explique que Wolfskehl, forcé de rester en chaise roulante, ne pourra pas être docteur. Alors, il s'est tourné vers les mathématiques. Le prix aurait été créé en hommage à cette nouvelle vie.

Une autre source dit qu'on l'aurait obligé à épouser une garce et que le prix ainsi mis en jeu échappait à sa succession.

D'après Fermat’s Last Theorem and the Wolfskehl Prize – Simon Singh – 1997

 

 

1908

l'Université de Göttingen en Allemagne

*    Offre un prix de 100 000 marks à qui trouvera la démonstration avant 2007.

1968

Shimura- Taniyama -Weil

*    Conjecture STW: toute courbe elliptique provient d'une forme modulaire.

1970

Serres

*    Conjecture qui concerne les formes modulaires.

1983

Gerd Faltings

*    Nombre fini de premiers entre eux qui seraient solution de l'équation.

1985

Frey & Ribet

*    Conjecture de Frey démontrée par Ribet en 1986: si des courbes vérifient la conjecture STW, elles vérifient aussi la conjecture de Serre.

23 juin 1993

Andrew Wiles

*    Conférence annonçant la démonstration du théorème de Fermat.

Nov.1993

 

*    Rumeur concernant une défaillance dans la démonstration.

3 avril 1994

Noam Elkies

*    Il annonce avoir trouvé un contre-exemple à la conjecture de Fermat ou presque >>>

25 Oct.1994

Andrew Wiles

Richard Taylor

*    Mise à jour de la démonstration du Dernier théorème de Fermat : preuve finale.

Mai 1995

Andrew Wiles

*    Publication dans les Annals of Mathematics.

27 juin 1997

Andrew Wiles

*    Attribution du prix Wolfskehl de 50 000 $.

1999

Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor

*    Conjecture de Taniyama–Shimura complètement démontrée.

La partie suffisante pour en déduire le dernier théorème de Fermat a été démontrée par Andrew Wiles. Ces mathématiciens ont traité les cas restants en s'inspirant des travaux de Wiles.

 

Presque Fermat

Noam Elkies a trouvé des cas où l'égalité de Fermat-Wiles est presque réalisée. Exemples:

        28010 + 30510 = 31610 (1 + 2,31 10-9)

3 472 0737 + 4 627 0117 = 4 710 8687 (1 + 3,63 10-22)

Même ce cas avec de plus petits nombres:

            135 + 165 = 175 + 12 = 155 (1 + 8,45 10-5)

      avec 13 + 16 = 17 + 12

 

 

HISTORIQUE (suite)

 

Historique:

*      Les démonstrations pour prouver cette relation jusqu'à n < 269 existaient en 1961.

*      Fermat, dans la marge du livre " Arithmétique " de Diophante, avait noté en 1637 qu'il avait découvert la démonstration mais n'avait pas la place de la noter.

*      Fermat avait sans doute vu des cas particuliers non évidents, ou autres, mais il est peu probable qu'il ait eu la solution complète.

*      La preuve a résisté à 350 ans d'efforts.

 

 

Découverte:

*      En 1993, Andrew Wiles publiait la démonstration générale en 151 pages.

*      Il reconnu immédiatement qu'il y avait une erreur.

*      Il a fallu 10 mois à A. Wiles et R. Taylor pour présenter une version améliorée, que les experts estiment correcte.

*      Seuls 200 mathématiciens au maximum au monde sont capables de saisir tous les détails de la démonstration.

*      La démonstration fait un long détour par la théorie des nombres et la géométrie algébrique pour se terminer par la preuve du théorème de Fermat.

*      Au passage, la démonstration laisse des démonstrations générales plus fortes et plus importantes dans ses applications.

*      C'est probablement la démonstration la plus épluchée de l'histoire des mathématiques.

 

Contributeurs

*      Quatre mathématiciens sont à l'origine de la réussite de Wiles

*      Gerhard Frey,

*      Jean-Pierre Serre,

*      Ken Ribet,

*      Richard Taylor.

 

Andrew Wiles: prix Abel 2016 >>>

 

 

En 1909, Wieferich démontre que :

 

Si

xp + yp = zp

admet une solution

avec p premier impair

qui ne divise pas x, y ni z …

 

… Alors

2p – 1  – 1  

est divisible par

Ce qui limite les recherches

Voir Nombre 1093 / Paires de Wieferich

 

 

DÉMONSTRATION – Principe

 

*      Cette preuve est fondée sur les propriétés des courbes elliptiques pour lesquelles Gerhard Frey, une dizaine d'années auparavant, avait montré la connexion avec le théorème de Fermat.

 

*      Il avait montré que les solutions de l'équation pour n > 2 engendraient une étrange classe de courbes elliptiques semi - stables, qui infirmaient une autre conjecture fameuse, la conjecture de Shimura – Taniyama – Weil (STW).

 

*      En 1986, Kenneth Ribe de l'université de Californie, prouva que si cette conjecture était vraie, au moins pour les courbes elliptiques semi - stables, alors le théorème de Fermat en découlait.

 

*      Lors de la première tentative, A. Wiles avait eu une approche " directe ", mais commettait une généralisation abusive.

 

*      Ce qu'il a corrigé en trouvant une voie détournée.

 

*      La démonstration suppose la consistance du système formel Zermelo-Fraenkel.

 

Pour information: une démonstration ultrasimple découlerait de la résolution de la conjecture ABC (annoncée en 2013).

 

 

  Voir Petit théorème de Fermat

 

 

Shimura – Taniyama – Weil (STW)

 

*    1994 – Démonstration du théorème de Fermat par A. Wiles y compris la conjecture STW sous une forme partielle (courbes elliptiques semi-stables).

 

*    2000 – Démonstration de la conjecture STW dans sa forme complète, suite à un travail d'équipe: Richard Taylor, Fred Diamond, Brian Conrad … y compris les français: Laurent Lafforgue, Loïc Mérel et Christophe Breuil, un jeune polytechnicien français qui a finalisé la démonstration.
 

 

 

GÉNÉRALISATION

 

 

Fermat suite…

*      De nombreuses applications des équations à la Fermat ont été développées.

*      En particulier, la conjecture de Dénes (1952) qui est devenue le théorème de Darmon et Merel (1995).

 

Xn + Yn – 2 . Zn = 0

Possible que pour X = Y quand n ³ 3

et solutions triviales: (1, -1, 0) (1, 1, -1)

 

Note

Cette relation est importante dans l'analyse des carrés magiques de nombres carrés 3x3 où la somme des sommets opposés vaut deux fois le nombre central: x² + y² = 2 z². >>>

 

 

Généralisation

Xn + Yn + Am . Zn = 0

 

*      Résolu pour A = 2 et m = 1: ci-dessus.

*      Résolu pour n > 10, m > 0 et certaines valeurs de A comme 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 53, 59 par Darmon et Merel.

 

Autres équations

Xn + Yn =  Z2

Xn + Yn =  Z3

A.Xn + B.Ym =  C.Zp

 

*      Objet de recherches actuellement

 

Xn + 2Yn =  4Zn

 

*      Impossible pour n > 2 (X, Y, Z entiers positifs)

Assez facile à prouver (car pas de solution 2-adiques non triviales)

 

Cas du bicarré

 

422 4814 = 95 8004 + 217 5194 + 414 5604

 

*      Il existe une infinité de puissances 4, somme de 3 puissances 4

 

Retour à Somme de puissances / Voir Équations diophantiennes

 

 

AMUSEMENT – Contre-exemple

sans retenue!

Contre-exemple !

 

703 =

 

3

4

3

0

0

0

 + 2123 =

9

5

2

8

1

2

8

4623 =

9

8

6

11

1

2

8

 

  C'est le 11 qui ne manque pas de retenue …

 

Trouvé par Erich Friedman / Cité par Ed Pegg Jr

 

 

 

 

 

Suite

*    Démonstration via la conjecture ABC

*    Étude du cas des cubes

*    Fermat

*    Fermat pour E42

*    La conjecture de Fermat – Roman

*    Presque Fermat (à un près)

*    Somme de trois cubes – Cas de 33, 42, 74 et autres

*    Théorème de Fermat et Waring

*    Théorème de Mordell-Faltings

*    Triplets de Pythagore

Voir

*    Bi, tripartitions

*    Cercle

*    Conjecture - Glossaire

*    Conjecture ABC

*    Conjecture de corrélation gaussienne

*    Conjecture de Poincaré (Théorème de Poincaré-Perelman)

*    Conjecture de Riemann

*    Conjecture d'Euler

*    Démonstration

*    Nombre = sommes de puissances

*    Nombre divisible par premiers

*    Nombres carrés

*    Nombres de Gauss généralisés comme tentative de solution

*    Nombres polygones

*    Nombres triangles

*    Partition en somme de puissances

*    Partitions

*    Petit théorème de Fermat

*    Pythagore 

*    Somme multi puissantes

*    Théorie des nombres

*    TriangleIndex

*    Unité des puissances

Livres

*    La conjecture de Fermat – Jean d'Aillon – JC Lattès – 2006.

*    Le dernier théorème de Fermat - Simon Singh - Relate l'aventure de A Wiles - un film a été réalisé sur ce thème et par la même personne: S Singh

 

VOIR LE FILM EN FRANÇAIS >>>

 

*    Invitation aux mathématiques de Fermat - Wiles - Yves Hellegouarch - pour connaisseurs avec bonnes bases mathématiques

*    Qu'est-ce que l'Univers -  L'énigme du théorème de Fermat - Yves Hellegouarch - texte de conférence donnée en juin 2000

Site

*    Une aventure mathématique, le théorème de Fermat - Jeanne VIGOUROUX  et al. – pdf46 pages

Sites

(Niveau élevé)

*    Fermat's last theorem – MacTutor Historyof Mathematics archive

*    Fermat, Wiles et GL(2) – Guy Henniart

*    The Solving of Fermat’s Last Theorem – Karl Rubin – Diaporama 46 vues

*    The proof of Fermat's last theorem – Nigel Boston – 2003 – pdf 140 pages

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/ThFermat.htm