Conjecture ABC Historique

Son énoncé n'est pas vieux (1985) et sa résolution est annoncée en 2012. Après six années d'interrogation, en 2018, la démonstration semble erronée.

Sa résolution sous-tend la solution de nombreuses autres parties de la théorie des nombres, notamment une solution ultrasimple du théorème de Fermat-Wiles.

Théories additive et multiplicative

Théorie additive: nombres traités par l'addition et la soustraction. La partie la plus importante en est la théorie de la partition: pour un nombre donné, quelles sont toutes les sommes égales au nombre?

Théorie multiplicative: nombres traités par la multiplication et les puissances (multiplication particulières). On y traite notamment des nombres et de leurs facteurs et diviseurs, des nombres premiers.

Théorie additive et multiplicative: les deux théories ne "couchent" pas bien ensemble, même si la multiplication n'est en fait qu'une addition répétée. Chacune des théories est assez simple. La combinaison des deux est redoutable.
On connaît le théorème de Fermat-Wiles: Aucuns nombres entiers ne satisfont aⁿ + bⁿ = cⁿ pour n supérieur à 2.
La conjecture ABC fait partie de cette catégorie: C est la somme de A et de B et on s'intéresse aux facteurs de ces trois nombres.

Elle nous indique que si trois nombres sont liés par une relation additive, leurs facteurs premiers ne peuvent pas tous être petits.

Historique
1985 Joseph Oesterlé (Paris VI) et David Masser (Bâle).	Énoncé de la conjecture. Elle existe sous plusieurs versions: faible et forte. Toutes les vérifications la donne pour vraie. Pas l'ombre d'un contre-exemple.
Joseph Oesterlé Mathématicien français, né en 1954.		David Masser Mathématicien anglais, né en 1948. Expert en théorie des nombres.
Shinichi Mochizuki Mathématicien japonais né en 1969. Expert en théorie des nombres. Professeur à l'université de Kyoto	En 2012, il annonce avoir résolu la conjecture. Document de 500 pages en cours de validation par les mathématiciens. La démonstration fait des détours à travers des outils mathématiques nouveaux. Voir Actualités 2018

Actualité 2016

Conférence de juillet 2016: présentation par Mochizucki de sa démonstration à une cinquantaine de mathématiciens (Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) à l’université de Kyoto).

Les mathématiciens doivent scruter un document de 500 pages avec des notations complexes, des sujets abstraits nouveaux … Pas simple. Cependant, ceux-ci pensent que la preuve de la conjecture abc semble effectivement à la clé.

Conséquences

La conjecture ABC démontrée impliquerait la résolution d'autres problèmes de la théorie des nombres. Principalement dans le domaine des équations diophantiennes mettant en jeu des nombres entiers.

Théorème de Fermat-Wiles

Sa démonstration tiendrait alors en quelques lignes. Il ne faudrait pas oublier, cependant, que cette courte démonstration serait sous-tendue par les 500 pages de démonstration de la conjecture ABC à mettre ne balance avec la longue démonstration d'Andrew Wiles et Richard Taylor (1994).

Généralisation à l'égalité de Fermat: axⁿ + byⁿ = czⁿ

Comme:

3. 2³ + 3. 1³ = 1. 3³ = 27

1. 5³ + 3. 1³ = 2. 4³ = 128

3. 3³ + 3. 6³ = 1. 9³ = 729

2.19³ + 2.89³ = 3.78³ = 1 423 656

1. 1⁴ + 5. 2⁴ = 1. 3⁴ = 81

2. 2⁴ + 10.4⁴ = 2. 6⁴ = 2 592

6. 10⁴ + 10.10⁴ = 1. 20⁴ = 160 000

Pour n > 3 et avec a, b et c entiers relatifs, cette égalité n'aurait qu'un nombre fini de solutions.

Conjecture de Catalan

Cette conjecture, démontrée en 2002, dit que x^m – yⁿ = 1 n'a qu'une solution avec 3² – 2³ = 1. Sa solution est simple avec ABC résolue.

Généralisation à l'équation de Catalan-Fermat: xⁿ + y^m = z^k

avec 1/n + 1/m + 1/k < 1.

Conjecture de Mordell

Cette conjecture, démontrée en 1983, serait démontrée simplement. Il serait également possible de calculer les solutions.

Actualités 2018 – Démonstration erronée ?

Depuis l'annonce de la démonstration en 2012 par Shinichi Mochizuki, deux camps se sont créés: ceux qui pensaient qua la conjecture était démontrée et ceux qui n'étaient pas convaincus.

En septembre 2018, Peter Sholze et Jacob Stix ont trouvé "une faille grave et insurmontable" dans la démonstration.

La difficulté: Mochizuki avait passé dix ans à construire des outils mathématiques à lui. Peu de mathématiciens étaient enclins à se plonger dans les pages de la démonstration.

Sholze met en cause des inégalités non vérifiées.

Mochizuki s'étonne du peu de compréhension des outils qu'il a élaboré

Peter Sholze

mathématicien allemand né en 1987, médaille Field 2018.

Professeur à l'université de Bonn depuis 2012.

Expert en espaces perfectoïdes de sa création, Il travaille à l'interface entre théorie des nombres et géométrie algébrique (la géométrie algébrique arithmétique).

Jacob Stix

mathématicien allemand né en 1974, lui aussi expert en géométrie algébrique arithmétique.

Professeur à l'université de Francfort.

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Documents	La conjecture ABC – Gerhard Frey – Pour la Science – Nov. 2012 – pages 24 à 31. La fin d'une démonstration controversée – Philippe Pajot – La Recherche – Novembre 2018 – N°541 page 30
Sites	Conjecture abc – Wikipédia La conjecture ABC et quelques unes de ses conséquences – Émeline Crouseilles et Alexandre Lardeur sous la direction de Bernard Le Stum abc Conjecture – Wolfram MathWorld The ABC's of Number Theory** – Noam Elkies – 2007 – pdf 21 pages abc Conjecture – Numberphile - Video
La démonstration en quatre parties	http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
Cette page	http://diconombre.fr/aMaths/Factorisation/Histori.htm