NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/03/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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INDEX GRANDS ESPRITS	Photo passeport 1919	Sommaire de cette page >>> Ramanujan >>> Biographie >>> 1729: histoire ou légende ? >>> Le comptable indien (roman)

L'homme qui connaissait l'infini. Un génie du XX^e siècle. Un artiste des équations. "An equation for me has no meaning, unless it express a thought of God".

RAMANUJAN

RAMANUJAN Srinivasa (nom de son père) IYENGAR (nom de caste)		1887 – 1920 33 ans	Indien né à Erode (au sud Inde)
Génie en mathématique. Autodidacte.		Ses formules, notées sur son cahier, n'ont pas encore livré tous leurs secrets. Nombreuses séries infinies.
Obsédé par les mathématiques: Rate ses études, car désintérêt pour les autres matières. Devient agent comptable. Ses supérieurs hiérarchiques lui conseillent d'envoyer ses cahiers de notes à trois spécialistes anglais: Hardy, Hobson et Baker. Hardy et Littlewood constatent que beaucoup de ces formules sont inconnues et valables. Ramanujan est un génie! Il laissera plus de 6 000 formules originales dans ses carnets. En 1918, il sera élu Fellow : à Trinity College Cambridge, à la Royal Society.
Voir	Calcul des grandes factorielles Constante de Ramanujan (0,764…) Constante de Ramanujan (en racine de 163) Contemporains Formule de calcul de Pi de Ramanujan Fraction continue et identité de Rogers-Ramanujan Logarithmes et Ramanujan Nombre 1729 Nombres avec 163 de Ramanujan Nombres en racines Nombres fortement composés Nombres premiers de Ramanujan PI – Formules de Ramanujan Racines continues Radicaux – Dé-imbrication (denesting) Suite qui rend très fou: 1 + 2 + 3 +… = 1/12 Théorèmes de Ramanujan sur la somme des carrés Valeurs de Pi Valeur de Pi et sa construction géométrique Zéro de Ramanujan

Une des identités numériques de Ramanujan

BIOGRAPHIE

1887		Naissance le 22 Décembre. Famille de brahmane: Père comptable dans une entreprise d'étoffes. Sa mère Komalatammal sera très attentive à son fils aîné. Il apprend les mathématiques tout seul grâce à deux livres. Ramanujan et les preuves. En 1903 (15 ans), il découvre le livre: A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics (1880, revised in 1886), by George Shoobridge Carr. Un livre bourré de théorème souvent sans démonstration. Ce qui explique que Ramanujan n'était pas averti de la rigueur mathématique et a laissé pratiquement tous ses résultats sans preuves.
1903	16 ans	Admis dans un collège gouvernemental du sud de l’Inde.
1904	17 ans	Durant sa scolarité, il montre de grandes aptitudes pour les maths et très faible dans les autres matières. Admis au collège de Kumbakonam. Mais seules les maths l'intéressent et il échoue en fin d'année. Il utilise une ardoise comme brouillon et note ses conclusions sur un carnet.
1906	19	Sa mère réussit à le faire admettre au collège de Madras (devenu Chennai, ville au sud est de l'Inde; 6,2 millions d'habitants). Il échoue une nouvelle fois. Il erre durant quelques années toujours avec son carnet.
1909	22	Sa mère décide de le marier. Srimathi Janaki est de la même caste; elle a 10 ans. Il vit d'expédients avec ses amis durant quelques années. Il montre ses carnets pour tenter d'intéresser quelqu'un. Tellement avancées, ses mathématiques ne sont pas comprises par son entourage.
1910	23	Bien que prodige en maths, Ramanujan n'a pas un débit de carrière mirifique. Il échoue à ses examens et vit dans la pauvreté. Le décollage En 1904, il entre au collège qu'il doit quitter rapidement en échouant dans les matières non-mathématiques. Il tente un collège à Madras. Là aussi il échoue à un examen sur les arts. Il va dériver dans la pauvreté jusqu'en 1910. En 1910, il obtient un entretien avec R. Ramachandra Rao, le secrétaire de la Société Indienne de mathématique. D'abord sceptique, il lui accorde sa confiance et surtout une bourse.
1911	24	Il réussit à éditer un article dans le journal de la société des mathématiques indiennes. Il y demande de trouver la valeur d'une racine continue. Personne ne trouve … Alors que Ramanujan sans formation particulière, non seulement connaît la réponse, mais également la formule générale.
1912	25	Il trouve un emploi à Madras: agent comptable. Les choses changent: Le président de la société est un ingénieur anglais. Et, le directeur, un mathématicien indien. Tous deux le poussent à contacter des mathématiciens britanniques. Henry F. Baker et E.W. Hobson, sont passés à côté.

1913	26	C'est le célèbre mathématicien G.H. Hardy qui reçoit une longue lettre de Ramanujan (13 janvier 1913) accompagnée de 120 formules non justifiées. Surpris, il pense que c'est un canular. Plus surpris encore, il y trouve des formules non encore connues et pourtant justes. Et même, des formules curieuses non démontrées. Il partage sa surprise avec un autre grand mathématicien John Littlewood. Conclusion: ce Ramanujan est un mathématicien de génie. Prodige Dans son cahier de notes de 1910, Ramanujan avait écrit 17 façons de développer 1/Pi en série. La suivante est restée célèbre. Elle produit huit décimales à chaque itération. Elle a été utilisée en 1985 pour calculer 17 millions de décimales. Le premier terme donne déjà une excellente approximation. C'est seulement en 1987 que cette formule a été démontrée par les frères Jonathan et Peter Borwein.
1914	27	Ramanujan se retrouve à Londres. Il travaille avec Hardy au Trinity College de Cambridge.
		Malheureusement Ramanujan tombe malade. Est-ce son régime végétarien indien à la mode anglaise ou les restrictions durant la guerre? Il fréquente les sanatoriums.
1919	32	Il renter au pays. très faible, en bateau. Il est soigné par sa mère et sa femme. tout en poursuivant ses travaux de maths.
1920	33	Mort le 26 avril, sa femme Janaki à ses côtés Peut-être de tuberculose. Il n'avait pas d'enfant. Il était profondément hindouiste. Il est resté végétarien toute sa vie.

HISTOIRE ou LÉGENDE ?

Le mathématicien anglais G.H. Hardy visitait le fameux mathématicien indien Srinivasa Ramanujan à l'hôpital. Mon taxi avait vraiment un numéro quelconque: "1 729", dit le premier . Mais, pas du tout, répondit Ramanujan, c'est le plus petit nombre exprimable par la somme de deux cubes de deux manières différentes ". Depuis, de tels nombres sont baptisés nombres Taxicab. Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675) qui connaissant cette propriété. Est-ce que Ramanujan en avait connaissance?

English The famous anecdote is that during one visit to Ramanujan in the hospital at Putney, Hardy mentioned that the number of the taxi cab that had brought him was 1729, which, as numbers go, Hardy thought was "rather a dull one". At this, Ramanujan perked up, and said "No, it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as a sum of two cubes in two different ways."

Voir Développements sur les nombres TAXICAB

Le comptable indien – The Indian Clerk

Roman basé sur faits réels de David Leavitt – Traduit de l'américain par J.-F. Hel Guedj – Denoël et d'ailleurs – 2009 – 713 pages Vie de Ramanujan durant sa période anglaise. Récit de la vie de tous les jours des protagonistes proches qui l'ont accueilli: Godfrey Harold Hardy 1877-1947) – mathématicien; et sa sœur vieille-fille Gertrude John Edensor Littlewood (1885-1977) – mathématicien Bertrand Russel (1872-1970) – logicien John Meynard Keynes (1883-1946) – économiste Roger Eliot Fry (1866-1934) – peintre George Edward Moore (1873-1958) – philosophe Ludwig Wittgenstein (1889-1951) – philosophe John McTaggart (1866-1925) – philosophe Eric Harold Neville (1889-1961), jeune professeur qui perdra son titre de Fellowship et deviendra professeur (chairman of mathematics) à l'université de Reading. Sa vie, comme celle de sa femme Alice, est très romancée. Il est connu pour son algorithme d'interpolation polynomiale. Quelques jalons La lettre de Ramanujan à Hardy arrive en janvier 1913. Hardy a 36 ans et Littlewood 28. Ils décident de faire venir Ramanujan à Cambridge. C'est la famille Neuville qui est envoyée en émissaire pour le convaincre. Ramanujan arrive en Angleterre en avril 1914. Hardy vient de prouver que la fonction zêta de Riemann a une infinité de zéro le long de la ligne critique ½. Littlewood montre que , change en permanence de signe lorsque x tend vers l'infini et cela de manière paradoxale, à partir de x très grand. Ces deux termes – la quantité de nombres premiers et le logarithme intégral sont égaux pour x tendant vers l'infini. Ramanujan affirmait détenir la clé de la conjecture de Riemann. Hardy aide Ramanujan à publier un papier sur la quantité de partitions des entiers. Théorème de Hardy-Ramanujan (1917): presque tous les entiers ont = log log n, quantité de diviseurs premiers distincts (facteurs).

Extraits et commentaires

Première lettre de Ramanujan à Hardy: j'ai découvert une fonction qui représente exactement le nombre des nombres premiers inférieur à x.

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Voici donc l'hypothèse de Riemann: vous prenez la fonction zêta et vous y introduisez des nombres complexes (…) Selon cette hypothèse, à chacun des points où la fonction est égale à la valeur zéro, la partie réelle aura une valeur de 1/2.

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Imaginez un barbier qui tous les jours rase les hommes de sa ville qui ne se rasent pas tout seuls. Le barbier se rase-t-il?

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Aucun nombre jusqu'à 24 n'a plus de six diviseurs. 22 en a quatre, 21 en a six. Mais 24 en a huit. 24 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24. Donc, je définis un nombre hautement composé comme un nombre qui comporte plus de diviseurs que tous les nombres venant avant lui.

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À présent, Hardy a établi de manière irréfutable qu'il existe une infinité de zéros le long de la ligne critique …

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Puis nous posons un nombre Q, qui sera plus grand que tous les nombres premiers multipliés par entre eux. Autrement dit: Q = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x … x P + 1… Démonstration d'Euclide

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C'est pourquoi 31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331 sont des nombres premiers, mais pas 33 333 331.

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Des lakhs de gens venus de chez nous se joignent aux forces militaire (…) La guerre en cours affecte des crores d'individus, des millions.

Note: lakh = 100 000 et crore = 10 000 000.

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Il aime presque tous les nombres premiers. Il aime 32 671, pour des raisons qui lui échappent (…) Il aime aussi les nombres hautement composés, ce sont le 4 et le 36 qu'il aime le plus (…)

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Comptant tous les nombres de 1 à 1 000 000, puis les rangeant par degré de rondeur. "1 000 000, Hardy c'est très rond, m'a-t-il ainsi dit un jour. Il comporte douze facteurs premiers, tandis que si vous prenez tous les nombres entre 999 991 et 1 000 010, la moyenne n'est que de 4.

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Ramanujan extrait de sa poche une coupure de presse et la tend à Hardy. "Énigmes dans une auberge de village" (…) L'autre jour, racontait William Rogers aux autres villageois (…) un endroit qui s'appelle Louvain (…) la maison de son ami se trouvait dans une longue rue … Voir l'énoncé de l'énigme et sa solution

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Ce qu'en disait Hardy

Il travaillait par induction à partir d'exemples numériques, beaucoup plus que ne le faisait la majorité des mathématiciens contemporains …; mais, en alliant sa mémoire, sa patience et sa puissance de calcul, il aboutissait à une capacité de généralisation, une appréciation des formes, et une flexibilité pour de rapides modifications de ses hypothèses, qui étaient souvent surprenantes et le rendait sans rival à ce jour dans son domaine de compétence.

Formules improbables à la manière de Ramanujan

Les ingénieurs de l’institut de Technion (Israël) ont développé une machine informatique à base d'IA – The Ramanujan machine – capable de proposer de nouvelles formules impliquant des constantes et des fractions continues.

À charge aux mathématiciens de les prouver.

Exemples

Voir le site: The Ramanujan Machine / Accès aux nouvelles formules

Suite	Voir ci-dessus
Voir	Carré magique de Ramanujan Hardy Nombres fortement composés Roman 676 Somme de cubes Somme qui rend fou: 1 + 2 + 3 + … = -1/12 Table des sommes de cubes
DicoNombre	Nombre 91 Nombre 1729
Livres	Le comptable indien – David Leavitt The man who knew infinity – Robert Kanigel A Disappearing Number pièce de théâtre de 2007 de Simon McBurney et le Théâtre de Complicité.
Sites	The Indian Clerk by Heini Halberstam – Cinq pages en .pdf, revue du livre de Leavitt. Srinivasa Ramanujan – University St Andrew Ramanujan: Letters and Commentary by Srinivasa Ramanujan Aiyangar – Google book On Ramanujan's Mathematics – Michele Nardelli et Antonio Nardelli – pdf 58 pages – 2020
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Esprit/Ramanuja.htm