NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/05/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Entiers de Gauss >>> Entiers d'Eisenstein >>> Entiers de Gauss généralisés >>> Théorème de Fermat-Wiles – solution ?

Entiers de Gauss
On utilise les nombre complexes pour obtenir certaines factorisations. On introduit le nombre imaginaire: -1, généralement noté i. tel que i² = – 1 Voir Nombres complexes et racines de nombres négatifs	Exemple (Identités remarquables) a² – b² = (a – b) (a + b) a² + b² = (a – b–1) (a + b–1)
Gauss s'est intéressé à ces nombres complexes. Formés avec des nombres entiers, ils ont un comportement proche de ceux des nombres entiers. Notez qu'en représentation géométrique des nombres complexes, les nombres entiers de Gauss sont ceux qui sont aux nœuds du quadrillage des nombres entiers en abscisse comme en ordonnée.	Les nombres de la forme a + b–1 avec a et b entiers sont décomposables de façon unique en nombres complexes non décomposables eux-mêmes (facteurs premiers).
Les nombres entiers ordinaires qui sont somme de deux carrés peuvent être factorisés.	5 = 2² + 1² = ( 2 – -1) (2 + -1) 8 = 2² + 2² = ( 2 – 2-1) (2 + 2-1) 10 = 3² + 1² = ( 3 – -1) (3 + -1) 13 = 3² + 2² = ( 3 – 2-1) (3 + 2-1)
Les nombres entiers premiers ne sont pas forcément décomposables en produit d'entiers de Gauss. Comme on vient de la voir, c'est le cas de tous les nombres qui sont somme de deux carrés.	3 non 5 oui => 5 = ( 2 – -1) (2 + -1) 7 non 11 non 13 oui => 13 = ( 3 – 2-1) (3 + 2-1) Etc.

CERCLE de GAUSS
Soit un cercle centré sur l'origine des axes et de rayon n, son aire est .n. Soit P le nombre de points intérieurs au cercle et de coordonnées entières (entiers de Gauss). Alors d = .n - P est compris entre 0,250 = 1/4 et 0,324 = 12/37.

Entiers d'Eisenstein
Les nombres de Gauss utilisent les quatre racine carrée de l'unité (plus et moins) : Les nombres d'Eisenstein utilisent la racine cubique de l'unité en complexe:	a + i · b nombres de Gauss. a + j · b nombres d'Eisenstein. Avec a et b des nombres entiers. Attention: pour éviter la confusion avec le symbole de l'intensité (I), les électroniciens remplacent le i des imaginaires par j (à ne pas confondre avec le j des mathématiciens)
Les nombres entiers ordinaires qui sont somme de deux cubes peuvent être factorisés en produit de trois termes. Notez: puissance trois trois termes.	Somme de deux cubes a^3 + b^3 = (a + b) (a² – ab + b²) = (a + b) (a + jb) (a + j²b) 35 = 2^3 + 3^3 = 5 x 7 = 5 (2 + i3) (2 – i3) Voir calcul
Nombre 2: nombre premier d'Eisenstein, sans partie imaginaire, mais réel de la forme 3n – 1. Liste des nombres premiers d'Eisenstein (donc en 3n – 1): 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 311, 317, 347, 353, 359, 383, 389, 401, 419, 431, 443, 449, 461, 467, 479, 491, 503, 509, 521, 557, 563, 569, … OEIS A003627

Gotthold Eisenstein (1823/1852) – Mort à moins de 30 ans de tuberculose

Entiers de Gauss généralisés
Pourquoi ne pas créer des nombres avec la racine nième de l'unité ?	a + i . b nombres de Gauss a + j . b nombres d'Eisenstein a + . b nombres de Gauss généralisés
En généralisant, nous voyons là une piste pour factoriser toute somme de deux nombres à la même puissance n en produit de n termes.	Puissances n a^n + b^n = (a + 1 b) (a + 2 b) … (a + n b) avec i nombre complexe, racine nième de l'unité

Théorème de Fermat-Wiles – Solution ?
Revenons à la somme des carrés du départ de cette page. Lorsque le nombre somme de deux carré est lui-même un carré nous avons à faire aux triplets de Pythagore	Somme de deux carrés a² + b² = (a – b-1) (a + b-1) a² + b² = c² 3² + 4² = 5²
En généralisant aux puissances supérieures, on obtient la conjecture de Fermat qui est devenue le théorème de Fermat-Wiles	Théorème de Fermat-Wiles a^n + b^n = c^n Cette équation n'a pas de solution en nombres entiers pour n > 2 (a, b, c non nuls)
Gabriel Lamé (1795-1870), annonce avoir effectué la démonstration du théorème de Fermat en utilisant la factorisation mise en évidence ci-dessus. Hélas, il avait procédé à des généralisations trop rapides. Il a prêté à ces nouveaux nombres des propriétés de factorisation unique qu'ils n'avaient pas. Kummer invente une nouvelle race de nombres pour y remédier: les nombres idéaux. Mais Kummer, qui fait progresser la démonstration (et les mathématiques, par là même) ne réussira à démontrer le théorème que pour n < 101 sauf n = 37, 59, 67 et 74.	a^n + b^n = c^n = (a + 1 b) (a + 2 b) … (a + n b) Contrairement aux entiers ordinaires et aux entiers de Gauss, ces nombres en a + i b n'ont pas les mêmes propriétés de factorisation unique.

Suite	Entiers de Gauss et entiers d'Eisenstein
Voir	Contemporains de G. Lamé Nombres complexes et racines de nombres négatifs
Sites	Entier de Gauss – Wikipédia Gaussian Integer – Wolfram MathWorld Entier d'Eisenstein – Wikipédia Eisenstein Integer – Wolfram MathWorld The Complex Tale of Eisenstein Prime Numbers – Mike DeHaan OEIS A001481 – Numbers that are the sum of 2 squares.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/Gauss.htm

ANNEXE

Calcul avec les deux méthodes

en nombres entiers classiques (toute somme de trois cubes est le produit de deux nombres)

avec les nombres complexes (seul intérêt de montrer la factorisation en trois termes)

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Nombre 35

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