Equation E42: x4+y4=z2

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	Théorème de Fermat-Wiles
Débutants Triplets de Pythagore	Cas n = 4			Glossaire Puissances
INDEX Puissance Décomposition	Théorème général	Triplets 422 à 444	Équation 442 (démo)
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Équation diophantienne E422

x⁴ + y⁴ = z²

Équation à mi-chemin entre un triplet de Pythagore: x² + y² = z² (E2)

et l'équation de Fermat pour n = 4: x⁴ + y⁴ = z⁴ (E4).

Comme pour E4, cette équation diophantienne n'a pas de solution, autre que triviale (telle que xyz 0). C'est Kumer (1810-1893) qui en a fait la démonstration. Il a même prouvé que l'équation de Fermat-Wiles n'avait pas de solution pour N jusqu'à 100.

Vous savez que la démonstration existe et qu'elle a été conduite rigoureusement. Vous savez aussi que les mathématiciens peuvent la présenter en termes très concis car ils supposent un certain bagage acquis. Ici, je vais la présenter dans son principe général. Mon but: développer cette démonstration dans ses grandes lignes pour la rendre abordable au plus grand nombre. J'ai pu voir au moins trois façons de résoudre ce problème. J'en aborde deux: une conclusion par contradiction et une autre via la descente infinie de Fermat. La troisième solution fait appel à la théorie des anneaux.

Approche
Sous son apparence de puissance quatrième, cette équation est en fait un triplet de carrés.
Dire qu'il n'y a pas de solution revient à dire:	Aucun triplet de Pythagore ne comporte deux termes carrés.
Par contre, avec un seul carré, il y a une infinité de tels triplets, à commencer par le plus célèbre d'entre tous: 3² + 4² = 5², avec le 4 qui est bien un carré.	Suite de la table

Démonstration – Principe
Principe de la démonstration.	Descente infinie de Fermat: On fait une hypothèse; On monte qu'il existe toujours une solution plus petite, ce qui est bien entendu impossible; et Cette impossibilité contredit l'hypothèse.
Hypothèse:	Il existe une solution x, y, z en entiers positifs telle qu'aucune autre solution n'a une valeur plus petite pour z.
Ce qu'il faut démontrer:	Notre choix conduirait à une autre solution x₁, y₁, z₁ avec z₁ < z. Ce qui va contredire notre hypothèse disant que z est le plus petit.
Boite à outils.	Triplets de Pythagore: propriétés de parité, et solution

In fine vous trouverez la solution en raccourci.

En voici le détail:

Primitif
Supposons qu'il existe une solution non nulle. Trouvons la plus petite solution.	S = xyz 0 S₀ = x₀ y₀ z₀ Le plus petit produit avec les nombres x, y et z.
Si (x, y, z) > 1 non premiers entre eux. La notation (x, y, z) est une abréviation de PGCD (x, y, z). Si le PGCD est égal à 1, les nombres sont premiers entre eux (on dit aussi: étrangers).	Alors, il existe un nombre p divisant x₀ et y₀ En utilisant notre équation, on peut écrire: Donc p² divise z₀.
Nous venons de trouver une solution telle que:
Comparons le produit.
Du fait de notre définition de S₀ comme solution minimale.	Cette inégalité (S₁ < S₀) est impossible. Et le facteur p est égal à 1. Ce qui veut dire que ces nombres étaient déjà premiers entre eux:
Nous transformons notre équation en triplet de Pythagore. Est-il primitif? Avec la solution la plus petite, x, y et z sont premiers entre eux, et a fortiori, x², y² et z aussi.	Cette nouvelle équation est un triplet de Pythagore primitif, solution de (X)² + (Y)² = z². Avec X et Y les carrés de x et y.

Résolution du triplet
Notre triplet primitif:
Sa solution:	x² = 2ab y² = a² – b² z = a² + b² avec: 0 < b < a (a, b) = 1 a ou b pair
Parité de a et b. Un carré est toujours divisible par 4 ou alors il donne un reste de 1. On dit qu'il est congru à 0 ou 1 mod 4.	Si a est pair et b impair: Le carré de a est divisible par 4 et: Or un carré est congru à 0 ou 1 mod 4. Donc cette relation est impossible et b est pair.

Nouveau triplet de Pythagore
Formation d'un nouveau triplet valide du fait des parités.	Le nombre b est pair. Le nombre a est impair Et le nombre y sera impair pour que l'égalité soit satisfaite: b² + y² = a² P² + I² = I² .
Le triplet précédent en a et b est primitif: (a, b) = 1.	Les trois termes sont premiers entre eux. Alors: (b, y, a) = 1
Le triplet est primitif.	Le triplet (b, y, a) forme une autre solution primitive de X² + Y² = z².
Solution de ce nouveau triplet:	b = 2rs y = s² – r² a = s² + r² avec: 0 < r < s (r, s) = 1 r ou s pair

Somme de carrés

Si (a, b) = 1, alors (a, b, a² + b² ) = 1.

En effet:

si p est facteur commun de a et (a² + b²), c'est-à-dire, si p divise a² + b², et que p divise a, alors il divise b; p divise à la fois a et b ce qui est impossible car (a, b) = 1. Donc p = 1 et (a, a² + b² ) = 1.

Même chose pour (b, a² + b²) = 1.

Comparaison entre solutions et contradiction
Reprenons la valeur de x².
x est divisible par 2.	x est le (seul) nombre pair du triplet.
Comme (r, s) = 1, a fortiori avec leur carré.	(r, s²+r²) = (s, s² + r²) = 1
Les facteurs de x², un carré, sont tous des carrés.	r, s et s² + r² sont des carrés parfaits. r = u² s = v² s² + r² = t²
r et s sont premiers entre eux; ils sont premiers avec la somme de leur carré.	(r, s, s² + r² ) = 1
Nouveau triplet primitif. Soit une nouvelle solution de l'équation de départ.	s² + r² = t² qui donne u⁴ + v⁴ = t²
Évaluation du produit avec celle nouvelle solution.
Comparaison.
Selon notre hypothèse S (ou selon son ancien baptême: S₀) est minimum.	Impossible! L'hypothèse que l'équation possède au moins une solution non triviale conduit à une contradiction.

La contradiction finale – Alternative (descente infinie)
On considère la valeur de t² par rapport à z:	t² = s² + r² = a a² + b² = z t⁴ + b² = z
Soit la relation d'ordre:	t⁴ < z t < z Note: on exclut le cas des paramètres égaux à 0.
t et z sont deux solutions de notre problème.	La nouvelle solution est inférieure à la première. La même procédure appliquée à cette nouvelle solution nous fera découvrir une solution encore plus petite. Etc. Ce qui n'est pas possible. Notre hypothèse est fausse. Il n'y a pas de solution à x⁴ +y⁴ = z².

Solution en raccourci

English corner

The Diophantine equation , where x, y and z are integers, was studied by Fermat, who proved that there exist no nontrivial solutions. Fermat proved this using the infinite descent method, proving that if a solution can be found, then there exists a smaller solution.

With x, y, z being Gaussian integers, this equation was later examined by Hilbert. No trivial solutions, either.

The Diophantine equation has only trivial solutions in Gaussian integers. Solving it with use of elliptic curves is very short ( … resorting to Extended Lutz-Nagell Theorem).

Suite	Fermat pour n = 3
Voir	Primitifs, pair et impairs Théorème de Fermat-Wiles
Site	La démonstration en anglais par Larry Freeman (2005)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/FERMAT/Fe42Dem.htm