Partitions - somme multi puissantes

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22 Novembre 2025

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 05/12/2025 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Débutants Général	SOMMES MULTIPUISSANTES				Glossaire Général
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		Sommaire de cette page >>> Définition >>> Présentation en tableau >>> Autres exemples >>> Florilège >>> Équation >>> Notations et cas >>> Table pour les entiers et les carrés >>> Table pour les entiers, les carrés et les cubes

SOMMES MULTI PUISSANTES

Il s'agit d'une égalité qui reste vérifiée même en changeant la puissance de tous ses termes. Le jeu consiste à trouver le plus de valeurs de la puissance tout en conservant l'égalité de départ. Les mathématiciens Euler et Goldbach s'adonnèrent à ces recherches et mirent au point des équations permettant de les calculer.

Pour une nomenclature de tous les problèmes posés par les sommes de puissances Voir S'y retrouver

DÉFINITION

Une somme multi puissante est une somme dont les termes sont mis à diverses puissances p spécifiées (de 1 à 5 par exemple).

Une égalité de sommes multi puissantes est vérifiée pour toutes les valeurs p.

Trouver de telles égalités fait partie du problème de la résolution d'équations diophantiennes.

Exemple

p = 1 1 + 8 + 8 = 2 + 5 + 10 = 17

p = 2 1² + 8² + 8² = 2² + 5² + 10² = 129

Si la quantité de termes de la somme est n, on peut se donner une contrainte supplémentaire:

Que n = p ou à plus ou moins 1 près, etc.

PRÉSENTATION EN TABLEAU

Voici l'exemple précédent présenté en tableau:

*Puissance*	1	2
*Nombres*	1	1
	8	64
	8	64
*Somme*	17	129
*Nombres*	2	4
	5	25
	10	100
*Somme*	17	129

Il y 3 termes dans chaque égalité: n = 3

Il y deux égalités pour entiers et carrés p = 2

Une égalité de plus que la valeur de la puissance maximum
n = p + 1

Exemples

Quatre termes dans l'égalité et vraie pour les puissances 1 à 3

Somme magique sur le carré incliné (pointillés bleus)

5 + 3 + 12 + 14 = 2 + 8 + 15 + 9 = 34

Les carrés

5² + 3² + 12² + 14² = 2² + 8² + 15² + 9² = 34² = 374

Les cubes

5³ + 3³ + 12³ + 14³ = 2³ + 8³ + 15³ + 9³ = 34³ = 4 624

Six termes dans l'égalité et vraie pour les puissances 1 à 5

Florilège

Les égalités en jaune sont en plus réversibles: les nombres d'un côté sont les retournés de l'autre côté.

Voir Carré magique et losange

Équation pour la puissance 2

Soit trois entiers a, b et c, il existe une infinité d'égalités du type:

x₁ + x₂ + x₃

= y₁ + y₂ + y₃

Équations

x₁ = a + c

x₂ = b + c

x₃ = 2a + 2b + c

y₁ = c

y₂ = 2a + b + c

y₃ = a + 2b c

Exemple

Summum avec huit égalités magiques

Huit sommes égales à 1 665

132 + 654 + 879 = 231 + 456 + 978

= 174 + 639 + 852 = 258 + 471 + 936

= 159 + 672 + 834 = 276 + 438 + 951

= 294 + 618 + 753 = 357 + 492 + 816 = 1 665

Huit sommes qui passent à 8 x 15 = 120 sommes

Les égalités sont résistantes aux quinze permutations de 1 à 3 chiffres (le premier tableau les montre toutes). Les huit sommes originales deviennent 8 x 6 = 48 égalités avec la permutation des trois chiffres de chaque nombre.

Les égalités sont également vérifiées pour le carré des nombres dans les quinze permutations (somme en colonne de droite).

Deux sommes développées avec leurs quinze égalités avec permutations

132	+	654	+	879	=	231	+	456	+	978	=	1 665	1 217 781
123		645		897		213		465		987		1 665	1 235 763
213		564		789		321		546		798		1 665	1 037 961
231		546		798		312		564		789		1 665	1 037 961
312		465		987		123		645		897		1 665	1 235 763
321		456		978		132		654		879		1 665	1 217 781
13		65		87		23		45		97		165	11 963
31		56		78		32		54		79		165	10 181
32		54		79		31		56		78		165	10 181
23		45		97		13		65		87		165	11 963
12		64		89		21		46		98		165	12 161
21		46		98		12		64		89		165	12 161
1		6		8		2		4		9		15	101
3		5		7		3		5		7		15	83
2		4		9		1		6		8		15	101

Les six autres mêmes sommes (= 1 665)

174	+	639	+	852	=	258	+	471	+	936	=	1 665	1 164 501
17		63		85		25		47		93		165	11 483
74		39		52		58		71		36		165	9 701
14		69		82		28		41		96		165	11 681
1		6		8		2		4		9		15	101
7		3		5		5		7		3		15	83
4		9		2		8		1		6		15	101

159	+	672	+	834	=	276	+	438	+	951	=	1 665	1 172 421
15		67		83		27		43		95		165	11 603
59		72		34		76		38		51		165	9 821
19		62		84		26		48		91		165	11 261
1		6		8		2		4		9		15	101
5		7		3		7		3		5		15	83
9		2		4		6		8		1		15	101

294	+	618	+	753	=	357	+	492	+	816	=	1 665	1 035 369
29		61		75		35		49		81		165	10 187
94		18		53		57		92		16		165	11 969
24		68		73		37		42		86		165	10 529
2		6		7		3		4		8		15	89
9		1		5		5		9		1		15	107
4		8		3		7		2		6		15	89

NOTATIONS ET CAS

pour une nomenclature des sommes de puissances

*Puissance*
	*Nombre de termes*
		"
			*Nombre d'égalités (rien si 1)*
				*Formules*
p	n	n	p	N = a₁^p +…+ a_n^p avec p = 1 à q	Sommes multi puissantes
p	p	p	p		Cas n = p
p	p +1	p + 1	p		Cas n = p + 1
				Voir aussi	Records

Voir Suites et exemples

Table des égalités pour les entiers et les carrés jusqu'à une somme d'entiers égale à 30

a	b	c	d	aa	bb	cc	dd	S1	S2
1	5	6		2	3	7		12	62
2	6	7		3	4	8		15	89
1	6	8		2	4	9		15	101
1	4	6	7	2	3	5	8	18	102
3	7	8		4	5	9		18	122
2	7	9		3	5	10		18	134
1	8	9		3	4	11		18	146
1	7	10		2	5	11		18	150

1	4	7	8	2	3	6	9	20	130
1	7	12		3	4	13		20	194
4	8	9		5	6	10		21	161
3	8	10		4	6	11		21	173
2	9	10		4	5	12		21	185
2	8	11		3	6	12		21	189
1	9	11		3	5	13		21	203
1	8	12		2	6	13		21	209
2	5	7	8	3	4	6	9	22	142
1	6	7	8	3	4	5	10	22	150
1	5	7	9	2	4	6	10	22	156
1	4	8	9	2	3	7	10	22	162
1	10	11		2	7	13		22	222
2	8	13		4	5	14		23	237

2	5	8	9	3	4	7	10	24	174
1	5	8	10	2	4	7	11	24	190
1	4	9	10	2	3	8	11	24	198
5	9	10		6	7	11		24	206
4	9	11		5	7	12		24	218
3	10	11		5	6	13		24	230
3	9	12		4	7	13		24	234
2	10	12		4	6	14		24	248
2	9	13		3	7	14		24	254
1	11	12		4	5	15		24	266
1	10	13		3	6	15		24	270
1	9	14		2	7	15		24	278
2	7	15		1	9	14		24	278
1	8	15		3	5	16		24	290

2	11	12		3	8	14		25	269
1	10	14		4	5	16		25	297

3	6	8	9	4	5	7	10	26	190
2	7	8	9	4	5	6	11	26	198
2	6	8	10	3	5	7	11	26	204
2	5	9	10	3	4	8	11	26	210
1	7	8	10	3	5	6	12	26	214
1	6	9	10	3	4	7	12	26	218
1	6	8	11	2	5	7	12	26	222
1	5	9	11	2	4	8	12	26	228
1	5	8	12	2	3	10	11	26	234
1	4	10	11	2	3	9	12	26	238
1	3	8	14	2	4	5	15	26	270
3	9	14		5	6	15		26	286
1	12	13		3	7	16		26	314

6	10	11		7	8	12		27	257
1	4	10	12	2	5	6	14	27	261
5	10	12		6	8	13		27	269
4	11	12		6	7	14		27	281
4	10	13		5	8	14		27	285
3	11	13		5	7	15		27	299
3	10	14		4	8	15		27	305
2	12	13		5	6	16		27	317
2	11	14		4	7	16		27	321
2	10	15		3	8	16		27	329
1	12	14		2	9	16		27	341
1	12	14		4	6	17		27	341
2	9	16		4	6	17		27	341
1	11	15		3	7	17		27	347
1	10	16		2	8	17		27	357

3	6	9	10	4	5	8	11	28	226
2	6	9	11	3	5	8	12	28	242
1	8	9	10	4	5	6	13	28	246
2	5	10	11	3	4	9	12	28	250
1	6	10	11	3	4	8	13	28	258
1	6	9	12	2	5	8	13	28	262
1	5	10	12	2	4	9	13	28	270
1	5	10	12	3	4	7	14	28	270
1	6	8	13	3	4	7	14	28	270
1	4	11	12	2	3	10	13	28	282
1	6	7	14	2	3	10	13	28	282
1	5	8	14	3	4	6	15	28	286
3	12	13		4	9	15		28	322
2	11	15		5	6	17		28	350
1	9	18		3	6	19		28	406
1	5	9	14	2	3	11	13	29	303
4	10	15		6	7	16		29	341
2	13	14		4	8	17		29	369

4	7	9	10	5	6	8	11	30	246
3	8	9	10	5	6	7	12	30	254
3	7	9	11	4	6	8	12	30	260
3	6	10	11	4	5	9	12	30	266
2	8	9	11	4	6	7	13	30	270
2	7	10	11	4	5	8	13	30	274
2	7	9	12	3	6	8	13	30	278
2	6	10	12	3	5	9	13	30	284
1	8	10	11	4	5	7	14	30	286
1	8	9	12	3	6	7	14	30	290
2	6	9	13	3	4	11	12	30	290
1	7	10	12	3	5	8	14	30	294
2	5	11	12	3	4	10	13	30	294
1	7	9	13	2	6	8	14	30	300
1	6	11	12	3	4	9	14	30	302
1	6	10	13	2	5	9	14	30	306
1	7	8	14	2	4	11	13	30	310
3	4	8	15	1	6	9	14	30	314
7	11	12		8	9	13		30	314
1	5	11	13	2	4	10	14	30	316
1	6	8	15	2	3	12	13	30	326
2	4	9	15	3	5	6	16	30	326
6	11	13		7	9	14		30	326
1	4	12	13	2	3	11	14	30	330
1	4	11	14	2	5	7	16	30	334
5	12	13		7	8	15		30	338
5	11	14		6	9	15		30	342
1	4	9	16	2	5	6	17	30	354
4	12	14		6	8	16		30	356
4	11	15		5	9	16		30	362
1	2	12	15	3	4	5	18	30	374
3	13	14		6	7	17		30	374
3	12	15		5	8	17		30	378
1	3	9	17	2	4	6	18	30	380
3	11	16		4	9	17		30	386
2	13	15		3	10	17		30	398
2	13	15		5	7	18		30	398
3	10	17		5	7	18		30	398
2	12	16		4	8	18		30	404
2	11	17		3	9	18		30	414
1	14	15		5	6	19		30	422
1	13	16		4	7	19		30	426
1	12	17		3	8	19		30	434
1	11	18		2	9	19		30	446

Table des égalités pour les entiers, les carrés et les cubes jusqu'à une somme d'entiers égale à 40

a	b	c	d	aa	bb	cc	dd	S1	S2	S3
0	4	7	11	1	2	9	10	22	186	1738
1	5	8	12	2	3	10	11	26	234	2366
0	6	7	13	1	3	10	12	26	254	2756
2	6	9	13	3	4	11	12	30	290	3150
1	7	8	14	2	4	11	13	30	310	3600
0	5	10	15	1	3	12	14	30	350	4500
0	7	9	16	1	4	12	15	32	386	5168
3	7	10	14	4	5	12	13	34	354	4114
2	8	9	15	3	5	12	14	34	374	4624
1	6	11	16	2	4	13	15	34	414	5644
0	8	9	17	2	3	14	15	34	434	6154
1	8	10	17	2	5	13	16	36	454	6426
0	7	11	18	2	3	15	16	36	494	7506
4	8	11	15	5	6	13	14	38	426	5282
3	9	10	16	4	6	13	15	38	446	5852
2	7	12	17	3	5	14	16	38	486	6992
1	9	10	18	3	4	15	16	38	506	7562
0	8	11	19	1	5	14	18	38	546	8702
0	6	13	19	1	4	15	18	38	566	9272
2	9	11	18	3	6	14	17	40	530	7900
1	8	12	19	3	4	16	17	40	570	9100

Suite	Sommes multi puissantes - Records Somme de puissances
Voir	Années Pythagore Bi, tripartitions Calcul mental Carrés sommes de cubes, en général Décade de Pythagore Géométrie Identités Nombres carrés Nombres consécutifs Nombres cubes Nombres polygones Nombres triangles Partition & Addition Raisonnement par récurrence Somme des entiers, carrés, cubes … Somme des inverses Théorie des nombres Triplets de Pythagore Unité des puissances
DicoNombre	Nombre 34 Nombre 72
Site	Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers – Euler net – Tableaux récapitulatifs des connaissances Autres sites
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