identité d'Euler, zêta de Riemann

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22 Novembre 2025

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/01/2026 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Identité d'EULER

& Hypothèse de RIEMANN

Au départ, une série qui somme les inverses des nombres élevés à une certaine puissance .

Euler utilise cette fonction et jette un pont entre

les nombres nombres entiers ordinaires

et les nombres premiers.

Cette fonction est devenue encore plus célèbre en passant dans le monde des complexes (fonction zêta): elle donnerait la clé de la répartition des nombres premiers.

La conjecture qui lui est associée, dite "hypothèse de Riemann",

du fait de ses nombreuses conclusions en théorie des nombres,

est l'enjeu majeur des mathématiciens depuis plus d'un siècle.

L'enjeu est du même ordre que l'était le désormais théorème de Fermat - Wiles, sinon davantage du fait qu'une parties de la théorie des nombre suppose cette hypothèse vérifiée.

Comme souvent en mathématiques, on a trouvé une autre conjecture équivalente (faisant intervenir la fonction de Möbius) qui, si elle est démontrée, prouve également celle de Riemann.

En bref
n / log n	Quantité des nombres premiers inférieurs à n à quelques pourcents près – Gauss C'est le théorème des nombres premiers.
n / log n - e	Quantité exacte.

z(s) = S 1/n^s

Fonction zêta – Étudiée par Euler.

z(z) = S 1/n^z

Fonction zêta en complexe – Étudiée par Riemann.

e = f ( z(z) )

Serait peut-être l'identité miracle ! – Riemann

La relation entre zêta et la distribution des nombres premiers n'est pas évidente.
Elle nécessite l'introduction d'une fonction un peu complexe dite de Tchebychev.

Cette fonction à base de logarithmes donne approximativement la quantité de premiers et de leurs puissances inférieures à n.

1730 (environ)

EULER

Fonction zêta ( z ).

Identité d'Euler.

Répartition des premiers en log.

1859

RIEMANN

Bernhard Riemann publie son hypothèse ou conjecture.

Après avoir affiné la loi d'Euler en log.

2004

Depuis, de nombreux mathématiciens ont passé des dizaines d'années de leur vie à essayer de démontrer cette conjecture.

Toutes les recherches faites avec ordinateur n'ont pas trouvé de faille à cette hypothèse.

Voir Approche moderne

Nous avons raison de penser que

les nombres premiers sont un mystère

que l'esprit humain ne pénétrera jamais.

Euler

Voir Pensées & humour

Développements
Découvrez la formule, sa magie et sa démonstration – pas si compliquée que cela.	Identité d'Euler >>>
Le point sur la fonction zêta de Riemann et ses racines qui, selon l'hypothèse de Riemann, sont toutes placées sur l'abscisse ½.	Hypothèse de Riemann >>>
Une introduction en douceur.	Pas si vite, je débute >>>

Rubrique	Identités remarquables
Voir	Calcul mental Constante d'Euler-Mascheroni Divisibilité Euler – Index Géométrie – Index Isopérimètre Nombres premiers Petit théorème de Fermat Série Harmonique Théorème de Fermat - Wiles Théorie des nombres – Index
Diconombre	Constante d'Euler
Sites	Edmund Georg Hermann Landau
Livres	La symphonie des nombres premiers – Marcus du Sautoy – Points Science (Héloïse d'Ormesson) – 2005. Superbe! Livre de poche de 500 pages qui se lit comme un roman. Raconte toute cette recherche pour prouver la conjecture de Riemann tout en faisant quelques détours mathématiques intéressants. Appréciable aussi, l'atmosphère du monde des chercheurs en mathématiques. Karl Sabbagh – Dr. Riemann's zeros The search for the $ 1 million solution to the greatest problem in mathematics – Atlantic book London – 2003
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Identite/IdEuler.htm

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