NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/12/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	SOMMES de NOMBRES
Débutants Sommes	Introduction				Glossaire Addition
INDEX Sommes Somme-Produit Ch Identités Calcul Types de nombres Jeux et énigmes	Approche		Index et formules	Somme des entiers
			Somme des inverses	Somme alternée
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SOMMES de NOMBRES

Index et formules de base

Ne pas confondre

Partition d'un nombre	Sommes des nombres
Ex: 125 = 3² + 4² + 10²	Ex: 100 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3
>>>	>>>

SOMMES des entiers – Index

Général

Débutant	Approche	Index	Formulaire
		Glossaire

Chiffres	Entiers	Démonstrations
Types de sommations	Théorie et notations	Nombres de Bernoulli

Addition – Débutant

Somme des nombres de 1 à 100

– Méthode de Gauss enfant

Identités remarquables – Formulaire

Nombres consécutifs – Index

Somme-Produit des chiffres – Index

Somme de nombres avec chiffres 1, 2, 3 et 4

Somme du type 4 + 5 + 6 = 7 + 8 Voir Pépites

Suites et séries

Séries typiques

Progression arithmétique

Progression géométriques

Types de nombres

Nombres successifs

à la même puissance

Entiers

Entiers	Pairs	Impairs
Inverses	Inverses 1/x	Inverses 1/(1-x)
Puissances de 2	Inverse des triangulaires	Somme de puissances

Puissances

Carrés	Cubes		Puissance 4
Puissances de 2 à 20		Fractions diverses
Inverses des carrés	Inverses des puissances
Puissances de nbs en prog. arith.		Produit de nbs en prog. arith.
Somme de produits en prog. arith.

Autres

Produits	Factorielles	Pronique (oblong)
Pyramides	Triangle de Pascal	Premiers

Somme des inverses des pairs et des impairs au carré

Nombres proniques

Nombres triangulaires

Carrés somme de cubes

Division des factorielles

Nombres de Bell

Nombres de Bernoulli

Produit des impairs sur produit des multiples de 4

Puissances successives

Somme d'un nombre à des puissances successives

Somme des inverses à des puissances successives

Somme d'expression en x et puissances successives

Démonstrations

Somme des entiers, des carrés, des cubes …
Démonstrations directes	Démonstrations par induction
Démonstrations avec équations	Démonstration par sommation

Démonstration par induction (récurrence)

Progression arithmétique

Progression géométrique

Tables

Tables sur les puissances – Index Carrés, cubes … et leurs cumuls

Sommes des entiers – Formulaire
>>>	Entiers	1 + 2 + 3 + … + n
>>>	Pairs	2 + 4 + 6 + … + 2n	= n (n + 1) = n² + n = 2Tn
>>>	Impairs	1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)	= n^2
>>>	Symétrique	1 + 2 + …n … + 2 + 1	= n²

Suite Sommes des entiers

>>>	Impairs - pairs	S = 1 – 2 + 3 – 4 + … + n . ( –1)^n+1
>>>	Pairs - Impairs	S = –1 + 2 – 3 + 4 – … + n . ( –1)^n

Suite Sommes alternées des entiers

>>>

Thue-Morse

1² – 2² – 3² + 4² – 5² + 6² + 7² – 8² 1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102

= 0

>>>	Pronique	1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + … + n(n+1)	= 1/3 n(n+1)(n+2)
	Produit de trois	1x2x3 + 2x3x4 … + n(n+1)(n+2)	= 1/4 n(n+1)(n+2)(n+3)
>>>	Puissances	1/1^k + 1/2^k +1/3^k +1/4^k +…	= (k)
>>>	1/2^k	1 + 1/2 + 1/4 + 1/ 8 + 1/16	= 2

Sommes des inverses – Formulaire
>>>	Inverses Série harmonique
>>>	Inverses alternés Série semi-harmonique		= ln2 = 0,6931…
>>>	Inverses opposés (somme)		n – Sh
>>>	Inverses opposés (produit)
>>>	Impairs alternés

Suite Autres sommes d'inverses et développements

Sommes des puissances – Formulaire
>>>	Carrés	1² + 2² + … + n²
>>>		1² + 2² + … + (n-1)²
>>>	À partir de a avec k termes	a² + (a + 1)² + … + (a + k – 1)²

Suite Somme des carrés, des inverses des carrés …

>>>	Cubes	1^3 + 2^3 + … + n^3
>>>	Bicarrés	1^4 + 2^4 + … + (n-1)^4
>>>	Puissances d'un nombre	1 + a + a^2+…+ a^k
>>>	Puissances de l'inverse	1 + 1/a + 1/a^2+…+ 1/a^k
>>>	Puissance 5	1^5 + 2^5 + … + (n-1)^5
>>>	Puissance quelconque	1^m + 2^m + … + (n-1)^m
>>>	Puissance des inverses

>>>	Puissance de 2	1 + 2 + 2^2 + … + 2^n	= 2^n+1 – 1
>>>	Factorielle	1 + 1/1! + 1/2! + …	= e

Suite par Type de nombre

Formules diverses
	Pyramide	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …	S ligne n = n/2 (n²+1)
	Pyramide impaire	1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …	S ligne n = n^3

Voir Suite et démo / Pyramides et carrés

Suite	Somme des entiers
Voir	Bicarrés Carrés Constantes Cubes Factorielles et somme des entiers Formulaires – Index Isopérimètre Nombres consécutifs Index Nombres géométriques Pairs et impairs Tautochronie Théorèmes
Site	Table of Integrals, Series, and Products edited by Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger – pdf de 1220 pages
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Somme.htm