NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/07/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	IDENTITÉS
Débutants Somme	SOMMES Nombres et puissances					Glossaire Addition
INDEX Sommes Calcul Identités	Index et Formules		Entiers	Carrés	Cubes
	Somme des puissances de 2 à 20 des nombres successifs
	Somme des puissances de nombres en progression arithmétique
	Produit de nombres en progression arithmétique
	Somme de produits de nombres en progression arithmétique
	Somme de produits – Méthode générale de calculs
	Nombre somme de puissances
	Somme d'un nombre à des puissances successives
	Somme d'expression en x et puissances successives
		Sommaire de cette page >>> En bref >>> Formules de calcul >>> Exemples de calcul avec ces formules >>> Approche – Cas simples >>> Formules générales pour les puissances de 1 à 5 >>> Quelques formules courantes >>> Calcul du polynôme – Exemple >>> Table des sommes pour {p, d, r} de 1 à 5 et n de 1 à 10

SOMMES des PUISSANCES

de nombres en progression arithmétique

(somme PNPA)

Les sommes classiques des nombres successifs ont déjà été vues. On connait les formules de calcul de la somme des nombres successifs à une certaine puissance.

Cette page traite du calcul de la somme de nombres en progression arithmétique, chacun porté à la même puissance.

Exemple

Notation: S^p_{r, d} (n)

Somme de n termes à la puissance p en partant de d et avec une progression arithmétique de raison r.

Voir Nombres consécutifs

En bref

Deux types de questions:

Calcul d'une somme de PNPA: à la main (ou calculette) pour une petite quantité de termes; ou, sinon avec un logiciel de calcul.

Formulation

directe : il existe des polynômes qui permettent le calcul direct, mais il y en a autant que de cas de calcul. La formule générale existe mais elle nécessite l'utilisation de nombres spéciaux (Bernoulli).

Itérative: le calcul par sommation itérative (somme de min à max de n à la puissance p) est toujours possible. Calculette ou logiciel de calcul sont nécessaires.
Récemment plusieurs autres formes de sommations itératives ont été publiées. Elles nécessitent toutes un calcul par logiciel.

Après énoncé des formules, analyse progressive de cas courants.

Formules de calcul des PNPA
Formule générale produisant la somme directement. Elle utilise les polynômes de Bernoulli. Les logiciels de calcul comme Maple savent traiter ces objets.

Formule classique par simple sommation La formulation la plus immédiate et la plus simple est celle de la somme itérative. Avec elle, le calcul pour les cas simples est réalisable à la main ou avec calculette.	= d^p + (d + r)^p + (d + 2r)^p + (d + 3r)^p + …+ (d + (n–1)r )^p
Formule en double sommation de CERECEDA (01/2021) Formule en double sommation de DEKPE (01/2021) La deuxième sommation effectue la somme des puissances des entiers.

Exemples de calcul avec ces formules

1) Calcul explicite de S^35, 5 (5)
2) Calcul avec sommation itérative Automatisation du calcul explicite. Rappel: la somme itérative se note:
3) Calcul avec la formule "Bernoulli" Le logiciel, avec son module combinatoire, calcule les polynômes de Bernoulli en p+1 pour la valeur n +d/r (T1) et d/r (T2).
4) Calcul avec la formule en double sommation de Cereceda Notez la forme emboitée des deux sommations avec report en fin d'instruction des bornes de calcul en i puis en j.
5) Calcul avec la seconde formule de Dekpe
Conclusion	Quitte à utiliser un logiciel, la formule itérative classique est encore la plus simple !

Voir Programmation – Index

Formulation polynômiales dans les cas simples

Approche – Cas simples
Nombres successifs à partir de 1.
On connait la somme des cubes (ou autres puissances) des nombres successifs.
Autre exemple avec les bicarrés
Nombres en progression arithmétique à partir de d
Le calcul explicite: Et, si on voulait une formule pour le cube, la voici:
Formule pour les bicarrés en partant de 3 et en progressant de 2 ? Ça se complique !

Formules générales pour les puissances de 1 à 5

n est bien la quantité de termes dans la somme (et non le terme final)

p	Formules Exemples avec n = 5, d = 10 et r = 5
1	10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 1/2 (5 x (25 + 20 – 5) ) = 1/2 (200) = 100
2	10^2 + 15^2 + 20^2 + 25^2 + 30^2 = 2 250
3	10^3 + 15^3 + 20^3 + 25^3 + 30^3 = 55 000
4	10^4 + 15^4 + 20^4 + 25^4 + 30^4 = 1 421 250
5	10^5 + 15^5 + 20^5 + 25^5 + 30^5 = 38 150 000

Quelques formules courantes

Type	Nom	Formules Exemples avec n = 5, d = 10
Somme des entiers, pairs et impairs		10 + 11 + 12 + 13 + 14 = (5 x 24) / 2 = 60
Somme des carrés		10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2 = 5 (876) / 6 = 730
Somme des cubes		10^3 + 11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 5 (24) (300) / 4 = 900
Somme r = 2 pairs et impairs		10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 5 (14) = 70 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5 x 6 = 30 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5² = 25
– au carré		10^2 + 12^2 + 14^2 + 16^2 + 18^2 = 5 (612) / 3 = 1 020 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2 = 10 (6 x 11) / 3 = 220 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 5 (9 x 11) /3 = 165
– au cube		10^3 + 12^3 + 14^3 + 16^3 + 18^3 = 5 (14) (220) = 15 400 2^3 + 4^3 + 6^3 + 8^3 + 10^3 = 50 x 36 = 1 800 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 = 25 x 49 = 1 225
Somme des multiples de 3		10 + 13 + 16 + 19 + 22 = 5 (32) / 2 = 80
– au carré		10^2 + 13^2 + 16^2 + 19^2 + 22^2 = 5 (548) / 2 = 1 370
– au cube		10^3 + 13^3 + 16^3 + 19^3 + 22^3 = 5 (32) (620) / 4 = 24 800

Voir Table des sommes pour {p, d, r} de 1 à 5 et n de 1 à 10 >>>

Calcul du polynôme – Exemple
Calcul de S^31, 1 (n), par exemple Le polynôme sera de degré p + 1 = 4 Pas de terme constant (S(0) = 0) Forme générale S = a.n^4+ b.n^3 + c.n^2 + d.n Résolution avec connaissance de quatre points: (1, 9, 36, 100).	Équations Solution

Retour	Somme des puissances des nombres successifs Somme des carrés des entiers successifs Produit de nombres en progression arithmétique
Suite	Somme d'expression en x et puissances successives Somme des inverses Somme des puissances de 2 à 20 Somme des puissances successives Formules avec les puissances 4 Toutes les formules de somme Nombres de Bernoulli et sommes de puissances
Table	Carrés, cubes … et leurs cumuls
Voir	Carrés Constantes Cubes Factorielles et somme des entiers Identités remarquables – Formulaire Isopérimètre Nombres consécutifs Index Nombres de Bernoulli Nombres géométriques Pairs et impairs Somme des puissances des nombres successifs - Holopotentiel Tautochronie Théorèmes
DicoNombre	Nombre 900 Nombre 28 125
Sites	On the coefficients of power sums of arithmetic progressions – András Bazsóa et István Mező – Journal of Number Thoey – 2015 Note on the coefficients of power sums of arithmetic progressions – José Luis Cereceda – 2021
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/SomPuiPA.htm