NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/07/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Somme de produits – Méthode générale de calculs
		Sommaire de cette page >>> Somme de produits type: 1x2x3 + 2x3x4 + … >>> Formule de calcul et règle pratique >>> Somme de produits inversés: 1/1x2 + 1/2x3 + …

SOMME de PRODUITS

de nombres en progression arithmétique

Cette page traite du calcul de la somme de produits de nombres consécutifs à partir de 1, comme: 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + …

Exemple et règle pratique de calcul

Somme de n termes de h facteurs = fraction 1/(h+1) du produit commençant par n et comptant h+1 facteurs (c'est aussi le dernier terme avec un facteur de plus) >>>.

Table somme de 1 à 10 termes avec 2 à 5 facteurs. On retrouve S₂(4) = 40.

Voir Nombres consécutifs / Somme de nombres oblongs / Brève 556

Somme de produits type: 1x2x3 + 2x3x4 + …
Produit de deux nombres Somme des entiers
La différence
Par télescopage avec P2(0) = 0 (généralisation à tous les n)
Exemple n = 5	1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1/2 (5 x 6) = 15

Voir Somme des nombres entiers

Simplification par télescopage

Simplification d'une grande somme par annulation de termes deux à deux ou alors de proche en proche.

n	P2(n)	– P2(n)	=	n
n – 1	P2(n-1)	– P2(n-2)	=	n – 1
n – 2	P2(n-2)	– P2(n-3)	=	n – 2
…
3	P2(3)	– P2(2)	=	3
2	P2(2)	– P2(1)	=	2
1	P2(1)	– P2(0) = 0	=	1
Somme	P2 (n)	– 0	=	S. Entiers

Les P s'annulent deux à deux. La somme des lignes est égale à la somme des entiers. Elle vaut aussi P₂ (n) = 1/2 n (n + 1).

Voir Brève 590

Produit de trois nombres Somme des produits de deux nombres
La différence
Par télescopage avec P3(0) = 0
Exemple n = 3	1x2 + 2x3 + 3x4 = 1/3 (3 x 4 x 5) = 20

Produit de quatre nombres Somme des produits de trois nombres
La différence
Par télescopage avec P4(0) = 0
Exemple avec n = 3	1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 = 1/4 (3 x 4 x 5 x 6) = 90

Produit de quatre nombres Somme des produits de trois nombres
Exemple avec h = 2 et n = 4		1x2 + 2x3 + 3x4+ 4x5 = 1/3 (4x5x6) = 40
Exemple avec h = 5 et n = 5		1x2x3x4x5 + 2x3x4x5x6 + … + 5x6x7x8x9 = 1/6 (5x 6x7x8x9x10) = 25 200
Règle pratique	Le dénominateur de la fraction est h + 1. Le produit commence par n et compte h + 1 facteurs. Exemples S5 (6) = 1/6 (6.7.8.9.10.11) = 40 S10 (6) = 1/11 (6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16) = 15 850 598 400 S10 (10) = 1/11 (10.11… 20) = 609 493 248 000

Voir Factorielle tronquée

Somme de produits inversés: 1/1x2 + 1/2x3 + …
Formule
Exemple n = 4
Démonstration par télescopage Avec cette identité:
La somme devient:
Les termes intermédiaires s'annulent deux à deux.

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Sites	Sums of products of consecutive numbers – George A. j Sparling
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