progression ou série géométrique

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SUITE GÉOMÉTRIQUE

PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE

Nombres successifs tels que chacun est égal

au précédent multiplié par une valeur fixe,

appelé raison.

On s'intéresse particulièrement à la somme qui est nommée:

Série géométrique.

Anglais: Geometric progression, common ratio (= raison)

Voir Moyenne géométrique / Suite et Série

Approche

Quand je compte 10, 20, 30 … j'ajoute 10 à chaque fois: cette suite de nombres est en progression arithmétique.

Lorsque je compte 10, 100, 1000, 10 000 … je multiplie par 10: cette suite de nombre est en progression géométrique. Le facteur de multiplication (ici 10) est appelé la raison de cette progression.

JEU en doublant

Défi

Pour me récompenser donne-moi:

un euro aujourd'hui,

deux euros demain, et

ainsi de suite, en doublant chaque jour jusqu'au vingtième jour.

Quelle est la somme que je recevrai ?

Calcul

Jour	1	2	3	4	...	20
Euros	1	2	4	8	...	1 048 576
Somme: 2 x 1 048 576 – 1 =						2 097 151

Astuce

Somme des 20 premiers termes = Dernier terme x 2 – 1.

Autrement-dit: pour trouver le terme suivant je calcule la somme de tous les précédents et j'ajoute 1.

Cette astuce est valable pour toutes les séries en progression géométrique.

Suivons cet exemple en examinant, vous les aurez reconnues, les puissances de deux.

PUISSANCES de 2, de 5 …

Somme des puissances de 2

2⁰	2¹	2²	2³	2⁴	2⁵		Puissances de 2.
1	+ 2	+ 4	+ 8	+ 16	+ 32	+ …	Somme des puissances de 2.
= 1							La somme est égale à la puissance supérieure moins 1. Exemple 1 + 2 + 4 = 7 = 2³ – 1 2⁰ + 2¹ + 2² = 2³ – 1
	= 3
		= 7
			= 15
				= 31
					…

S_n = 2ⁿ⁺¹ – 1

Somme des puissances de 5

5⁰	5¹	5²	5³	5⁴	5⁵		Puissances de 5.
1	+ 5	+ 25	+ 125	+ 625	+ 3125	+ …	Somme des puissances de 5.
= 1							La somme est égale à la puissance supérieure moins 1. Idée: Et si on multipliait les sommes par un entier. Avec 4, on se rapprocherait.
	= 6
		= 31
			= 156
				= 781

1x4 = 4	6x4 = 24	31x4 = 124	156 x 4 = 624	781 x 4 = 3124			Multiplication par 4: Bingo!

Mise en formule

Comment relier cela aux puissances de 5, comme nous l'avions fait avec les puissances de 2

1 + 5 + 25

= 31

= 124 / 4

= (125 – 1) / 4

= (5³ – 1) / 4

5⁰ + 5¹ + 5²

= (5³ - 1) / (5 – 1)

Généralisation à somme des puissances de A

Exemple avec A = 10

1 + 10 + 100 + 1000 + 10 000

= S₄ = (10⁵ – 1) / (10 – 1) = 99 999 / 9 = 11 111

Voir Somme des entiers et des puissances / Table des sommes de puissances

Progression géométrique – Cas général

Généralisation

Avec une progression géométrique, le terme suivant est obtenu en multipliant le terme précédent par un même facteur appelé raison q.
Chaque terme de la progression est de la forme:

U_n= a . qⁿ

Et la somme est de la forme:

S_n= a.q⁰ + a.q¹ + a.q² + … + a.qⁿ

Autrement dit, une progression en puissance

Rappel des notations

*Rang*	0	1	2	3	4
*Valeur*	a	a.q	a.q²	a.p³	a.qⁿ
*Valeur*	1	2	4	8	16
*Somme*	1	3	7	15	31
PG	q = 4 et n = 4
*Termes*	n + 1 = 5

Formules générales

GÉOMÉTRIQUE	*Termes*	*Raison*	*Somme*
Premier terme	U₀ = a = a . q⁰	En rouge, notation des indices à partir de 0. À adapter, si vous utilisez les indices à partir de 1. Le dernier terme devient, par exemple: a . q^{n – 1}
Deuxième	U₁= U₀ . q = a . q = a . q¹
Rang k	U_n= a . q ^k
Dernier	U_n= a . q ⁿ
Général q petit -1 < q < 1	Les deux sommes sont équivalentes
q grand -1 > q > 1	Les deux sommes sont équivalentes
Avec dernier terme U_n
si q = 1			S = n . a

Exemple

1, 10, 100, 1000, 10 000

U₄ = 10 000 (le cinquième terme, car la numérotation commence à zéro).

q = = 10

S = (1 – 10⁵) / (1 – 10) = 11 111

3, 30, 300, 3000, 30 000

U₄ = 30 000

q = = 10

S = 3 (1 – 10⁵) / (1 – 10) = 33 333

Suite en Exemples de calcul

Démonstration

Comparons la suite jusqu'à n et la même, multipliée par la raison q.

Effectuons la soustraction.

Mise en facteur de S_n et de a.
Et, divisons par 1 – q.
La raison est différente de 1, sinon on diviserait par zéro; de toute façon avec une raison unité, la progression géométrique serait triviale: a+a+a+ …

S_n = a + aq + aq² + … + aqⁿ

qS_n = aq + aq² + … + aqⁿ + aqⁿ⁺¹

S_n – qS_n = a – aqⁿ⁺¹

S_n = a(1 – qⁿ⁺¹) / (1 – q)

Voir Somme 1 + 2n + 3n² + …

Cas particuliers

Puissance de deux.
Le dénominateur vaut 1.
C'est bien le résultat vu plus haut.

q = 2

S_n = a (2ⁿ⁺¹ – 1)

Petite raison (q petit).
Le nième terme de la raison à la puissance n+1 décroît pour atteindre une limite nulle

– 1 < q < 1

S_lim = a / (1 – q)

Voir Développement p-adiques

Inverse des puissances de deux.

q = 1/2

S_lim = a / (½) = 2a

Inverse des puissances de 3, 4, 5 …

S_lim3 = a / (2/3) = 1,5a

S_lim4 = a / (4/3) = 1,33 …a

S_lim5 = a / (5/4) = 1,25a

etc.

PROPRIÉTÉS d'une progression géométrique (PG)
Si on multiplie ou si on divise une PG par une valeur fixe les termes de la PG =>	La nouvelle séquence de nombres est une PG.
Si on multiplie les termes correspondants de deux PG =>	La nouvelle séquence de nombres est une PG.
Si on prend le logarithme des termes d'une PG =>	La nouvelle séquence de nombres est une PA >>>
Moyenne géométrique Une suite géométrique de trois nombres: a, m, b Alors, m est la moyenne géométrique de a et b.	m = a.r et b = m.r En divisant:

PA: progression arithmétique

LIMITE – Sommes infinies
La somme des n premiers termes d'une série géométrique de raison q et de premier terme a vaut:
Cette somme tend vers une limite pour n tendant vers *l'infini* si et seulement si q est strictement plus petit que 1, et cette limite est alors =>
Exemples Calcul de 0, 999 ... = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + ... = S	0 = 0,9 q = 1/10 S = 0,9 / (9/10) S = 1
	= 2 Suite >>>
	= 3/2
	= n (n – 1)

Voir exemple en Calcul de l'aire du flocon de neige / Inverses des puissances

Démonstration géométrique quasi-muette

English corner

Source: Infinite geometry series

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