NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Nombres

 

Débutants

Nombres géométriques

Type Géométrique

 

Glossaire

Nombres

géométriques

 

 

INDEX

Nombres Géométriques

 

Pairs / Impairs

Carrés

Cubes

Centrés

Proniques

Pentagonal et suite

Tétraédriques

Hex

Triangulaires

Grappes

Pyramidaux

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres proniques – Approche

>>> Propriétés

>>> Somme des nombres proniques successifs

>>> Somme des inverses des proniques – Démonstration

>>> Nombres proniques palindromes

>>> Table des nombres palindromes proniques

>>> Nombres multi proniques

>>> Racine pronique

 

 

 

 

NOMBRES PRONIQUES

 

ou PROMIQUES, OBLONGS, PRESQUE-CARRÉS,

RECTANGULAIRES, HÉTÉROMÈQUES

ou encore hétéroméciques

 

Quantité associée à un rectangle dont longueur et largueur sont égales à 1 près.

Un nombre pronique, produit de deux nombres successifs, est aussi la somme des nombres pairs ou en encore la somme de deux nombres triangulaires identiques.

 

Np = n (n + 1) = 2 + 4 + 6 +  … 2n

 

Pronique viendrait du grec promekes, rectangulaire, oblong.

Anglais: pronic number or promic numbers, or oblong number or heteromecic number

 

 

 

NOMBRES PRONIQUES – Approche

Définition

 

Nombres proniques ou nombres oblongs:

 

*    Produit de deux nombres consécutifs comme 20 = 4 x 5, ou
 

*    Nombre de la forme n (n+1) = n² + n

 

Exemple

272 = 16 x 17  qui est aussi palindrome.

Liste des premiers

 

 

À la suite

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, …

Carrés

Terminés par 25, ces nombres sont les carrés des nombres terminés par 5.
Ex: 225 = 15², 625 = 25², 1225 = 35²

 

Famille

Nombres

triangulaires

Nombres

proniques

Nombres

quasi proniques

Nombres

tétraédriques

Nombres

 pentatopes

Nombres Hexa-2

Voir Factorielles tronquées

 

 

Curiosité

P(73737) = 73737 x 73738 = 5 437 218 906

Ce nombre pronique d'indice ondulant est pannumérique; il contient tout les chiffres de 0 à 9.

 

 

Propriétés

 

 

 

Général

 

*    Un nombre pronique est pair, car produit de deux nombres consécutifs, l'un est des nombres est pair et le produit est pair.

*    Double d'un nombre triangulaire: n (n + 1) = 2Tn

*    Le nième nombre pronique (n² + n)  est égal à la demi-somme des n premiers entiers ou la somme des n premiers pairs consécutifs:

n² + n = n(n+1) = 2  x (1 + 2 + … + n) = 2 + 4 + … + 2n
Ex: n = 4, P = 4 x 5 = 20 = 2(1 + 2 + 3 + 4) = 2 + 4 + 6 + 8

 

 

Somme

 

*    La somme des inverses des proniques est égale à 1:

Les sommes successives étant: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 … n/n+1.

Démonstration >>>

 

*    Somme des proniques successifs: Voir chapitre dédié >>>

 

Différence

On – On-1 = 2n

 

n (n + 1) – (n – 1) n

= n² + n – n² + n

= 2n

 

272 – 240 = 32

= 16 x 17 – 15 x 16

= 2 x 16 = 32

On+1 – On = 2n + 2

(n + 1) (n + 2) – n (n + 1)

= n (n + 1) + 2 (n + 1) – n (n + 1)

= 2 (n + 1)

 

Illustration: passage d'un oblong au suivant

 

 

 

Divisibilité

 

*    Produit de deux nombres premiers entre eux, car étant consécutifs (n et n + 1) ils n'ont aucun facteur en commun:

*        Les facteurs sont ceux de n et ceux de n+1;

*        Les diviseurs sont ceux de chacun et tous les produits possibles;

*        La quantité de diviseurs communs est donc le produit des diviseurs de chacun, comme d'ailleurs la somme des diviseurs.

 

Exemples

 

 

 

Types

 

*    Un nombre pronique n'est jamais carré. Par contre le nombre à mi-distance de deux proniques successifs est un carré.

 

 

Ex:    6  7  8   9  10  11  12

Le carré 9 est à la même distance des nombres 6 et 12.

 

*    Il peut être triangulaire: T696 = 696 x 697 / 2 = 492 x 493 = 242 556.

 

*    Proniques palindromes: voir chapitre dédié >>>

 

*    Fibonacci et Lucas : les seuls proniques sont F0 = 0,  F3 = 2 et L0 = 2. (prouvé en 1996 par Wayne McDaniel et, en même temps, par Ming Luo).

 

 

Exercice d'algèbre**

 

Pouvez que N = (n ² + n – 1)(n² + 3n + 1) + 1 est pronique

 

N = n4 + 4n3 + 3n2 – 2n = n (n + 2) (n2 + 2n – 1) 

    = (n2 + 2n) (n2 + 2n – 1) = K (K – 1)

 

 

Fonction génératrice**

 

*    Fonction dont les coefficients sont les nombres proniques successifs.

 

 

 

 

Somme des nombres proniques successifs

 

Sn = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + … + n(n+1) = 1/3 n (n + 1) (n + 2)

 

Un tiers du produit des trois nombres consécutifs à partir de n.

 

*      En fait cette somme peut s'écrire:

Sn = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + … + (n² + n)

 

*      C'est la somme à la fois la somme de tous les entiers et de tous les carrés jusqu'à n.

 

Sn = { 1/2 n(n+1) } + {  1/6 n (n+1)(2n+1)  }

Après mise en facteurs:

Sn = n (n+1)   { 1/2  +   1/6 (2n+1)  }

Sn = n (n+1)   ( 3/6  +   2n/6 + 1/6 )

Sn = n (n+1)   ( n/3 + 2/3 )

Sn = n (n+1)   (n+2) / 3

 

*      Les premières valeurs:
[1, 2], [2, 8], [3, 20], [4, 40], [5, 70], [6, 112], [7, 168], [8, 240], [9, 330], [10, 440]    >>>

 

 

Démonstration ("astucieuse") utilisant les polynômes

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = A + Bn + Cn2 + Dn3 + En4 + …

Avec A, B, C, D … variables indépendantes de n.

Avec n devenant n + 1

1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2)

= A + B(n + 1) + C(n + 1)2 + D(n + 1)3 + E(n + 1)4 + …

En faisant la soustraction des deux (tous calculs faits):

(n + 1)(n + 2) =  B + C(2n + 1) + D(3n² +3n + 1) + E(4n3 + 6n² + 4n + 1) + …

Le premier membre est du deuxième degré; le second l'est également, donc tous les coefficients à partir de E sont nuls.

(n + 1)(n + 2) =  B + C(2n + 1) + D(3n² +3n + 1)

n² + 3n + 2 = 3Dn² + (2C + 3D)n+ B + C + D

Soit le système d'équations

3D = 1                    D = 1/3

2C + 3D = 3           C = 1

B + C + D = 2        B = 2/3

Notre somme devient: S = A + 2/3n + 1/3n² + n3 

Or S (1) = 1.2 = 2 = A + 2/3 + 1/3 + 1 = A + 2 => A = 0

Formule finale: S = n3 + 1/3 n² + 2/3 n

               

 

Démonstration identique pour la somme suivante:

Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1)(n + 2)

= A + Bn + Cn2 + Dn3 + En4 + Fn5…

Sn+1 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1)(n + 2) + (n + 1)(n + 2)(n + 3)

= A + B(n+1) + C(n+2)2 + D(n+3)3 + E(n+4)4 + F(n+1)n5 …

Sn+1 – Sn = (n + 1)(n + 2)(n + 3) = B + C(2n + 1) + D(3n² + 3n + 1) + E(4n3 + 6n² + 4n + 1) + …

= n3 + 6n2 + 11n + 6 = 4E n3 + (6E + 3D) n2 + (4E + 3D + 2C) n + (E + D + C + B)

Sn = A + 3/2 n + 11/4 n2 + 3/2 n3 + 1/4 n4

Sn (1) = 6 = A + 3/2  + 11/4  + 3/2  + 1/4 = 6 => A = 0

 

Formule

Sn = 3/2 n + 11/4 n2 + 3/2 n3 + 1/4 n4  = (n3 + 6n2 + 11n + 6) n/4

Sn = 1/4 n (n + 1) (n + 2) (n + 3)

 

Verification

Sn (3) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 = 6 + 24 + 60 = 90 = 3/2 x 3 + 11/4 x 9 + 3/2 x 27 + 1/4 x 81 = 90

 

Valeurs pour n de 1 à 10

[1, 6], [2, 30], [3, 90], [4, 210], [5, 420], [6, 756], [7, 1260], [8, 1980], [9, 2970], [10, 4290]

 

 

Bilan

K

Début

Formule

1

1 + ..

1/2 n (n + 1)

2

1.2 +…

1/3 n (n + 1)(n + 2)

3

1.2.3 + …

1/4 n (n + 1)(n + 2)(n + 3)

4

1.2.3.4 + …

1/5 n (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n+ 4)

K

1.2.3.4 … K + …

1 / (K+1) . n (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n+ 4) … (n + K)

 

 

Voir Recherche de formule de sommes / Autres démonstrations semblables

 

 

Démonstration identique pour la somme suivante:

Sn = 1.2² + 2.3² + 3.4² + … + n(n + 1)²

= A + Bn + Cn2 + Dn3 + En4 …

Sn+1 = 1.2² + 2.3² + 3.4² + … + n(n + 1)² + (n + 1)(n + 2)²

= A + B(n+1) + C(n+2)2 + D(n+3)3 + E(n+4)4 …

Sn+1 – Sn = (n + 1)(n + 2)² = B + C(2n + 1) + D(3n² + 3n + 1) +  E(4n3 + 6n² + 4n + 1)   …

= n3 + 5n2 + 8n + 4 = 4E n3 + (6E + 3D) n2 + (4E + 3D + 2C) n + (E + D + C + B)

Sn = A + 5/6 n + 7/4 n2 + 7/6 n3 + 1/4 n4

Sn (1) = 4 = A + 5/6  + 7/4  + 7/6  + 1/4 = 4 => A = 0

 

Formule

Sn = 5/6 n + 7/4 n2 + 7/6 n3 + 1/4 n4

Sn = 1/12 n (n + 1) (n + 2) (3n + 5)

 

Verification

Sn (3) = 1.2² + 2.3² + 3.4² = 4 + 18 + 48 = 70 = 5/6 x 3 + 7/4 x 9 + 7/6 x 27 + 1/4 x 81 = 70

Valeurs pour n de 1 à 10

[1, 4], [2, 22], [3, 70], [4, 170], [5, 350], [6, 644], [7, 1092], [8, 1740], [9, 2640], [10, 3850]

 

 

 

Somme des inverses des proniques

 

Démonstration directe

 

 

Cette quantité tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

 

Démonstration par induction

Voir Demonstration par recurrence

 

 

Nombres PRONIQUES PALINDROMES

Définition

*    Nombre pronique qui se lit aussi de droite à gauche (palindrome).

Exemples

 

16 x 17 = 272

77 x 78 = 6 006

 

Propriétés

 

*    Ils commencent et finissent par 2 et 6 seulement.

*    Chacun n(n+1) est le double d'un nombre triangulaire n(n+1)/2.

 

Le premier

 

 

Les nombres 2 et 6 sont proniques palindromes triviaux.

Le premier véritable est 272.

 

Table

 Pour dossier complet: voir site de Patrick De Geest

 

Le plus

grand connu

 

Warut Roonguthai août 1997

 

Curiosité

 

Suite qui se construit en mettant 45 54 ou 54 45 au centre d'un nombre de départ. Malheureusement cette suite est finie.

 

 

 

Nombres MULTI-PRONIQUES ou k-Oblongs

Définition

 

*    Un nombre multi-pronique est le produit de n nombres consécutifs.

*    Ceux qui commencent par 1 ou 2 sont les factorielles.

 

Exemple

60 = 3 x 4 x 5

24 = 2 x 3 x 4

Propriétés des 3-proniques

*       Toujours divisible par 6: 11

*       En ajoutant le nombre central, on obtient son cube.

*       Liste: 6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320, 1716, 2184, 2730, 3360, 4080, 4896, 5814, 6840, 7980, 9240, 10626, … OEIS A007531

Multi-proniques

 

Tables  (<1000)

 

Ces nombres ne sont jamais des puissances parfaites (prouvé par Erdös et Selfridge).

 

 

Ces nombres sont le rapport entre deux factorielles: x! / y! Ce sont des factorielles tronquées.

Suivants

OEIS A045619

 

 

Racine pronique

 

Racine pronique

*    Comme pour la racine carrée, le nombre pronique étant donné, comment retrouver le nombre générateur.

Ex: Avec P = 156 retrouvez n = 12.

 

12 est la racine pronique de 156.

 

 

 

Exemple

 

Autre vision

*    On parle de racine pronique lorsqu'un nombre est ajouté à sa puissance quatrième. Notion autrefois utilisée dans la résolution d'équations.

 

N = n4  + n = n (n3 + 1)

 

3 est la racine pronique  de 84.

 

 

 

 

Suite

*    Somme de produits en progression arithmétique (page sur le même sujet que celle-ci)

Nombres géométriques

*    Voir haut de page

*    Nombres géométriques – Introduction

*    Nombres géométriques – Développements

*    Nombres géométriques – Synthèse des propriétés

*    Nombres géométriques – Théorie

*    Nombres géométriques – Valeurs  

*    Nombres pentagonaux et suivants

*    Nombres triangulaires

Voir

*    Consécutifs

*    Diviseurs – Glossaire

*    Liste des noms de nombres – Index

DicoNombre

*    Nombre 272

*    Nombre 242 556

Sites

*    Pronic number – Wolfram Math World

*    Palindromic pronic numbers – Patrick de Geest

*    OEIS A002378 – Oblong (or promic, pronic, or heteromecic) numbers: a(n) = n*(n+1)

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Pronique.htm