NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres premiers

 

Débutants

Identité

d'Euler

Répartition

 

Glossaire

Nombres

premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

En bref

Identité d'Euler

Fonction zêta d'Euler

F. de Möbius

Débutant

Démo. de l'identité

Zêta de Riemann

Approches modernes

Hypothèse de Riemann

 

Sommaire de cette page

>>>  Identité

>>>  Mieux comprendre

 

 

 

IDENTITÉ d'EULER

 

 

Euler a découvert une relation qui relie d'un côté les nombres entiers et de l'autre les nombres premiers.

 

Un pont magique entre deux mondes si différents!

 

Voir Euler

 

 

 

IDENTITÉ

 

Formulation

 

 

 

Lecture de l'identité

*    La fonction zêta de s est égale à

*           la somme, pour n de 1 à l'infini, des inverses des puissances s de n et,

*           au produit, pour tous les premiers p, de la fraction p à la puissance s sur lui-même moins un.

 

*    Cette identité est vraie pour tout nombre réel s supérieur à 1.

Pour la valeur s = 1, il s'agit de la  suite harmonique qui est  divergente.

 

Lecture abrégée

*    Zêta de s est égale à

*           sigma de n de 1 à l'infini, de 1 sur n puissance s, et

*           au produit pour tout p premier, de p puissance s sur p puissance s moins 1;

*           vraie pour tout s supérieur à 1.

 

Expression en anglais

*    Euler discovered a relationship between his zeta function, which uses all whole numbers, and an entirely different series which uses only the prime numbers.

*    If you add together the reciprocals of all the whole numbers squared, for example, this will give the same answer as multiplying together a series of terms involving the primes, each of the form p² / (p² - 1).

 

Voir Relation d'Euler avec les partitions

 

MIEUX COMPRENDRE avec les carrés

 

Identité

1

+

1

+

1

+

1

+ …

=

2²

x

3²

x

5²

x

7²

x …

1²

2²

3²

4²

2² - 1

3² - 1

5² - 1

7² - 1

 

Ou, écrit autrement:

 

1

+

1

+

1

+

1

+ …

=

4

x

9

x

25

x

49

x …

1

4

9

16

3

8

24

48

 

Voir Somme des inverses des carrés - Démo

Convergence

Voici le calcul des premiers termes de l'identité pour le cas des carrés:

 

n

p

S =  1/n²

P =  p² / (p² - 1)

P - S

1

2

1

1

4 / 3

1, 333

0, 333

2

3

5 / 4

1, 250

3 / 2

1, 500

0, 250

3

5

49 / 36

1, 361

25 / 16

1, 562

0, 201

4

7

205 / 144

1, 423

1225 / 768

1, 595

0, 171

5

11

5269 / 3600

1, 463

29645 / 18432

1, 608

0, 144

6

13

 

1, 491

 

1, 617

0, 126

7

17

 

1, 511

 

1, 623

0, 111

8

19

 

1, 527

 

1, 628

0, 100

9

23

 

1, 539

 

1, 631

0, 091

10

29

 

1, 549

 

1, 633

0, 083

…

…

 

 

 

 

 

100

541

 

1, 6349

 

1,6445

0,0095

1 000

7 919

 

1, 6439

 

1, 6449

0,00098

 

 

 

 

Valeurs de  (s)

 

La fonction (2) converge vers 1, 644 934 … qui vaut

Voici quelques autres valeurs, avec 100 décimales

 

 (2) = 1,6449340668 4822643647 2415166646 0251892189 4990120679 8437735558 2293700074 7040320087 3833628900 6197587053

 (3) = 1,2020569031 5959428539 9738161511 4499907649 8629234049 8881792271 5553418382 0578631309 0186455873 6093352581 Constante d'Apéry

 (4) = 1,0823232337 1113819151 6003696541 1679027747 5095191872 6907682976 2154441206 1618696884 6556909635 9416999172

 (5) = 1,0369277551 4336992633 1365486457 0341680570 8091950191 2811974192 6779038035 8978628148 4560043106 5571333364

 (6) =  1,0173430619 8444913971 4517929790 9205279018 1749003285 3561842408 6640043321 8290195789 7882773977 9385351706

 (7) = 1,0083492773 8192282683 9797549849 7967595998 6356056523 8706417283 1365716014 7831735573 5346096968 9138513240

 (8) = 1,0040773561 9794433937 8685238508 6524652589 6079064985 0020329110 2026525829 5257474881 4395287230 3723719712

 (9) = 1,0020083928 2608221441 7852769232 4120604856 0585139488 8756548596 6159097850 5339025839 8950393069 1271695862

 (10) = 1,0009945751 2781808533 7145958900 3190170060 195315644 77517257788 9946362914 6515191295 43970419686 103856528

 

 

Somme des inverses des puissances

Voir Somme suites infinies / Somme des entiers, inverses …  / Démonstration

 

 

 

Zêta 2

Le calcul de zêta (2) = pi/6, dit problème de Bâle, est dû à Euler en 1735. Voir Démonstration

 

Zêta 3 – Constante d'Apéry

 

 

En 1979, Roger Apéry a montré que ce nombre est irrationnel.

Écriture d'Apéry:

En 1998, sa valeur était connue avec 32 militions de décimales (Sebastian Wedeniwski – 35 heures de travail).

En 2017, connue avec 500 milliards de décimales (Ron Watkins)

 

Voir Nombre 1,2020… / Historique de Zéta

 

Ce qui est connu

Pour tout entier k le quotient est rationnel.

La somme  est transcendante.

La nature de la somme   reste un mystère.

On sait que   est irrationnel (Apéry); on ne sait pas s'il st transcendantal.

On ne sait pas si  est irrationnel pour k > 1

 

 

 

 

 

 

 

 

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Diconombre

*    Nombre1,644…

Site

*      Constante d'Apéry – Wikipédia

*      OEIS A002117 – Decimal expansion of zeta(3), called Apery's constant

*      Mathematical Constants - Billions of Digits de Alexander J. Yee

*      On irrationality and transcendency of infinite sums of rational numbers – R. Tijdeman

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Euler.htm